解説

方針・初手

2つの方程式が共通解をもつので、その共通解を $a$ とおく。

すると $a$ は ①, ② の両方を満たすから、②から $p$ を $a$ で表し、それを①に代入すれば $a$ が求まる。

解法1

①, ② の共通解を $a$ とする。

すると

$$ a^3+pa+2=0 $$

および

$$ 3a^2+p=0 $$

が成り立つ。

②より

$$ p=-3a^2 $$

である。これを①に代入すると

$$ a^3+(-3a^2)a+2=0 $$

すなわち

$$ a^3-3a^3+2=0 $$

より

$$ -2a^3+2=0 $$

となる。したがって

$$ a^3=1 $$

である。

実数の範囲では

$$ a=1 $$

だから、

$$ p=-3a^2=-3 $$

を得る。

次に、このとき ①, ② を解く。

①を解く

$p=-3$ を①に代入すると

$$ x^3-3x+2=0 $$

となる。

$x=1$ を代入すると確かに成り立つので、$(x-1)$ を因数にもつ。実際に因数分解すると

$$ x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2) $$

さらに

$$ x^2+x-2=(x+2)(x-1) $$

より

$$ x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2) $$

したがって、①の解は

$$ x=1,\ -2 $$

である。ただし $x=1$ は重解である。

②を解く

$p=-3$ を②に代入すると

$$ 3x^2-3=0 $$

すなわち

$$ x^2-1=0 $$

であるから

$$ x=\pm 1 $$

となる。

解説

共通解をもつ問題では、共通解を文字でおいて両方の式を同時に使うのが基本である。

この問題では、②が $p$ について一次式なので、まず $p=-3a^2$ として①へ代入するのが最も自然である。すると $a^3=1$ まで一気に落ちる。

その後は $p=-3$ を元の方程式に戻して、それぞれを普通に解けばよい。

答え

**(1)**

$$ p=-3 $$

**(2)**

①は

$$ x=1,\ -2 $$

ただし $x=1$ は重解である。

②は

$$ x=\pm 1 $$