解説

方針・初手

正の重解を $r$ とおく。3次式が重解をもつときは

$$ x^3-(a+7)x^2+(a+29)x+2a+37=(x-r)^2(x-s) $$

と表せるので、係数比較によって $a,r,s$ の関係を調べるのが自然である。

解法1

$$ x^3-(a+7)x^2+(a+29)x+2a+37=(x-r)^2(x-s) $$

とおく。右辺を展開すると

$$ (x-r)^2(x-s)=x^3-(2r+s)x^2+(r^2+2rs)x-r^2s $$

であるから、係数比較により

$$ \begin{aligned} 2r+s&=a+7 \\ r^2+2rs&=a+29 \\ -r^2s&=2a+37 \end{aligned} $$

を得る。

まず第1式から

$$ s=a+7-2r $$

である。これを第2式に代入すると

$$ r^2+2r(a+7-2r)=a+29 $$

より

$$ a(2r-1)=3r^2-14r+29 $$

を得る。

次に、同じく $s=a+7-2r$ を第3式に代入すると

$$ -r^2(a+7-2r)=2a+37 $$

より

$$ a(r^2+2)=2r^3-7r^2-37 $$

を得る。

ここで $a$ を消去するために

$$ (r^2+2)(3r^2-14r+29)=(2r-1)(2r^3-7r^2-37) $$

とおくと、整理して

$$ r^4-6r^3-43r^2-20r+147=0 $$

すなわち

$$ (r-7)(r+1)^2(r+3)=0 $$

となる。

$r$ は正の重解であるから

$$ r=7 $$

である。

これを

$$ a(2r-1)=3r^2-14r+29 $$

に代入すると

$$ 13a=3\cdot 49-14\cdot 7+29=78 $$

より

$$ a=6 $$

である。

したがって、正の重解は

$$ x=7 $$

である。

解説

重解をもつ3次式では、$(x-r)^2(x-s)$ とおいて係数比較する方法が基本である。判別式を直接使うよりも計算の見通しがよく、重解そのものも同時に求められる。

この問題では、$s$ を消去して $a$ と $r$ の関係式を2本作り、さらに $a$ を消去するのが要点である。最後に $r>0$ という条件で候補を絞ればよい。

答え

**[ア]** $6$

**[イ]** $7$