解説

方針・初手

$x$ の偶数次しか現れていないので、$y=x^2$ とおくのが自然である。すると $y\geqq 0$ を満たす2次方程式に帰着する。

元の方程式の解がすべて実数であるためには、$y$ の2つの解がともに実数かつ $0$ 以上であればよい。

解法1

$y=x^2$ とおくと、方程式は

$$ y^2+(1-k)y+2-k^2=0 $$

となる。ただし $y\geqq 0$ である。

この2次方程式の2解を $\alpha,\beta$ とする。元の方程式の解がすべて実数であるためには、$\alpha,\beta$ がともに実数かつ $\alpha,\beta\geqq 0$ であることが必要十分である。

したがって、次の3条件を満たせばよい。

（i） 判別式が $0$ 以上

$$ (1-k)^2-4(2-k^2)\geqq 0 $$

$$ 1-2k+k^2-8+4k^2\geqq 0 $$

$$ 5k^2-2k-7\geqq 0 $$

$$ (5k-7)(k+1)\geqq 0 $$

よって

$$ k\leqq -1 \quad \text{または} \quad k\geqq \frac75 $$

である。

（ii） 2解の和が $0$ 以上

$$ \alpha+\beta=-(1-k)=k-1\geqq 0 $$

よって

$$ k\geqq 1 $$

である。

（iii） 2解の積が $0$ 以上

$$ \alpha\beta=2-k^2\geqq 0 $$

よって

$$ -\sqrt2\leqq k\leqq \sqrt2 $$

である。

以上を合わせると、

$$ \left(k\leqq -1 \ \text{または} \ k\geqq \frac75\right),\quad k\geqq 1,\quad -\sqrt2\leqq k\leqq \sqrt2 $$

を同時に満たす必要があるから、

$$ \frac75\leqq k\leqq \sqrt2 $$

となる。

解説

$x^4$ と $x^2$ だけからなる方程式では、$y=x^2$ とおいて $y$ の条件に直すのが基本である。

ここで注意すべきなのは、単に $y$ の解が実数であるだけでは不十分で、$x^2=y$ の形に戻したときに $x$ が実数になるためには $y\geqq 0$ まで必要になる点である。そのため、判別式・解の和・解の積を同時に調べるのが最も整理しやすい。

答え

$$ \frac75\leqq k\leqq \sqrt2 $$

である。