基礎問題集
数学2 複素数と方程式「高次方程式」の問題6 解説
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解説
方針・初手
元の方程式の解が $\alpha,\beta,\gamma$ であるとき，$\alpha+1,\beta+1,\gamma+1$ を解にもつ方程式は，変数を $x-1$ だけずらして作ればよい。
したがって，元の方程式
$$ t^3+3t^2+5t+10=0 $$
において $t=x-1$ とおけばよい。
解法1
$\alpha+1,\beta+1,\gamma+1$ を解にもつ方程式を
$$ f(x)=0 $$
とする。
このとき，$x$ がその解ならば $x-1$ は元の方程式
$$ (x-1)^3+3(x-1)^2+5(x-1)+10=0 $$
を満たす。
よって求める方程式の1つは
$$ (x-1)^3+3(x-1)^2+5(x-1)+10=0 $$
である。
これを展開すると，
$$ \begin{aligned} (x-1)^3+3(x-1)^2+5(x-1)+10 &=(x^3-3x^2+3x-1)+3(x^2-2x+1)+5x-5+10 \\ &=x^3-3x^2+3x-1+3x^2-6x+3+5x-5+10 \\ &=x^3+2x+7 \end{aligned} $$
したがって，求める方程式は
$$ x^3+2x+7=0 $$
である。
よって
$$ \boxed{\text{ア}=2,\ \text{イ}=7} $$
となる。
解説
解を $\alpha,\beta,\gamma$ から $\alpha+1,\beta+1,\gamma+1$ に変える操作は，方程式の変数を $x\mapsto x-1$ と置き換える操作に対応する。
この種の問題では，解そのものを直接求める必要はなく，「解を一定値だけ平行移動したら，式の中では変数を逆向きにずらす」という対応を使うのが基本である。
答え
$$ x^3+2x+7=0 $$
したがって，
$$ \boxed{\text{ア}=2,\ \text{イ}=7} $$