解説

方針・初手

まず、この4次式が $x=1,2$ を常に解にもつかどうかを調べる。

実際、

$$ P(x)=x^4+(2m-1)x^3-(3m-3)x^2-(5m+17)x+(6m+14) $$

とおくと、

$$ P(1)=0,\qquad P(2)=0 $$

である。したがって $P(x)$ は常に $(x-1)(x-2)$ を因数にもつ。

あとは残り2解を与える2次式を調べ、4つの解のうちちょうど2つだけが一致する条件を場合分けすればよい。

解法1

$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ると、

$$ P(x)=(x-1)(x-2)\bigl(x^2+(2m+2)x+(3m+7)\bigr) $$

となる。

よって4つの解は

• $x=1$
• $x=2$
• $x^2+(2m+2)x+(3m+7)=0$ の2解

である。

ここで、4つの解のうちちょうど2つだけが等しくなるのは、次の2通りである。

（i） 残りの2次式が重解をもつ場合

（ii） 残りの2次式の一方の解が $1$ または $2$ になる場合

（i） 2次式が重解をもつ場合

2次式

$$ x^2+(2m+2)x+(3m+7) $$

が重解をもつための条件は判別式 $D=0$ である。

$$ \begin{aligned} D&=(2m+2)^2-4(3m+7)\\ &=4\bigl((m+1)^2-(3m+7)\bigr)\\ &=4(m^2-m-6)\\ &=4(m-3)(m+2) \end{aligned} $$

したがって、

$$ m=3,,-2 $$

である。

$m=3$ のとき

$$ x^2+(2m+2)x+(3m+7)=x^2+8x+16=(x+4)^2 $$

より、

$$ P(x)=(x-1)(x-2)(x+4)^2 $$

となる。解は $1,2,-4,-4$ であり、ちょうど2つだけが等しい。よって適する。

$m=-2$ のとき

$$ x^2+(2m+2)x+(3m+7)=x^2-2x+1=(x-1)^2 $$

より、

$$ P(x)=(x-1)^3(x-2) $$

となる。解は $1,1,1,2$ であり、3つ等しいので不適である。

（ii） 2次式の一方の解が $1$ または $2$ になる場合

$x=1$ が2次式の解である場合

$$ 1+(2m+2)+(3m+7)=0 $$

より、

$$ 5m+10=0 $$

したがって

$$ m=-2 $$

である。これはすでに見たように $(x-1)^3(x-2)$ となり不適。

$x=2$ が2次式の解である場合

$$ 4+2(2m+2)+(3m+7)=0 $$

より、

$$ 7m+15=0 $$

したがって

$$ m=-\frac{15}{7} $$

である。

このとき、

$$ x^2+(2m+2)x+(3m+7) =x^2-\frac{16}{7}x+\frac{4}{7} =(x-2)\left(x-\frac27\right) $$

だから、

$$ P(x)=(x-1)(x-2)^2\left(x-\frac27\right) $$

となる。解は $1,2,2,\dfrac27$ であり、ちょうど2つだけが等しい。よって適する。

以上より条件を満たすのは

$$ m=3,\quad -\frac{15}{7} $$

である。

解説

この問題の要点は、係数に $m$ を含む4次式を正面から扱わず、まず固定された解を見つけることである。

実際に $x=1,2$ を代入すると常に $0$ になるので、4次式は常に $(x-1)(x-2)$ を因数にもつ。すると問題は、残りの2次式の根がどうなるかを見るだけに簡単化される。

そのうえで、

• 2次式自身が重解をもつ
• 2次式の解が既知の解 $1,2$ と一致する

という2通りを漏れなく調べればよい。$m=-2$ で3重解になる点を落とさないことが重要である。

答え

$$ m=3,\quad -\frac{15}{7} $$