解説

方針・初手

係数が左右対称なので、まず $a\neq 0$ を用いて $a$ で割る。さらに

$$ x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{b}{a}x+1 $$

の形にしてから因数分解すると、常に $x=-1$ が解であることが分かる。 したがって、残りの2解を与える2次方程式を調べればよい。

解法1

$a\neq 0$ より、方程式

$$ ax^3+bx^2+bx+a=0 $$

を $a$ で割って

$$ x^3+tx^2+tx+1=0 \qquad \left(t=\frac{b}{a}\right) $$

とおく。

このとき

$$ x^3+tx^2+tx+1=(x+1){x^2+(t-1)x+1} $$

であるから、もとの方程式は

$$ (x+1){x^2+(t-1)x+1}=0 $$

となる。

よって、1つの解は常に $x=-1$ であり、残りの2解は

$$ x^2+(t-1)x+1=0 $$

の解である。

（1） 3つの異なる実数解をもつ条件

3つの異なる実数解をもつためには、2次方程式

$$ x^2+(t-1)x+1=0 $$

が異なる2つの実数解をもてばよい。

判別式を $D$ とすると

$$ D=(t-1)^2-4=t^2-2t-3=(t-3)(t+1) $$

であるから、

$$ D>0 $$

すなわち

$$ (t-3)(t+1)>0 $$

が必要十分である。

よって

$$ t<-1 \quad \text{または} \quad t>3 $$

となる。

ここで $t=\dfrac{b}{a}$ であるから、

$$ \frac{b}{a}<-1 \quad \text{または} \quad \frac{b}{a}>3 $$

すなわち

$$ a>0 \text{ のとき } b<-a \text{ または } b>3a, $$

$$ a<0 \text{ のとき } b>-a \text{ または } b<3a $$

である。

したがって、$(a,b)$ 平面では、直線 $b=-a$ と $b=3a$ で分けられる4つの領域のうち、両直線の外側の2組の領域が求める範囲である。 境界線 $b=-a,\ b=3a$ は含まない。また $a=0$ も含まない。

（2） 負の実数解を1つ、正の異なる実数解を2つもつ条件

すでに $x=-1$ が負の実数解である。 したがって、残りの2解が正の異なる実数解であればよい。

2次方程式

$$ x^2+(t-1)x+1=0 $$

の2解を $\alpha,\beta$ とすると、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=1-t,\qquad \alpha\beta=1 $$

である。

$\alpha\beta=1>0$ より、2解が実数なら同符号である。 これらが正となるためには

$$ \alpha+\beta>0 $$

すなわち

$$ 1-t>0 $$

であればよい。さらに異なる実数解であるために

$$ (t-3)(t+1)>0 $$

も必要である。

したがって

$$ t<1 $$

かつ

$$ t<-1 \quad \text{または} \quad t>3 $$

より、結局

$$ t<-1 $$

である。

これを $t=\dfrac{b}{a}$ に戻すと

$$ \frac{b}{a}<-1 $$

すなわち

$$ a>0 \text{ のとき } b<-a, $$

$$ a<0 \text{ のとき } b>-a $$

である。

したがって、$(a,b)$ 平面では、直線 $b=-a$ の

• $a>0$ 側ではその下側
• $a<0$ 側ではその上側

の2つの領域が求める範囲である。 このとき境界線 $b=-a$ は含まない。また $a=0$ も含まない。

解説

この問題の本質は、3次方程式をそのまま扱うことではなく、係数の対称性に気づいて

$$ (x+1){x^2+(t-1)x+1} $$

と因数分解することである。

さらに、$t=\dfrac{b}{a}$ とおけば条件が比 $\dfrac{b}{a}$ だけで決まり、$(a,b)$ 平面では原点を通る直線で領域が決まることが見通しやすくなる。

（2） では、2次方程式の解の積が $1$ であることが重要である。積が正なので、2解が実数なら同符号である。したがって、和の符号を見れば正か負かを判定できる。

答え

**(1)**

方程式が3つの異なる実数解をもつための条件は

$$ \frac{b}{a}<-1 \quad \text{または} \quad \frac{b}{a}>3 $$

である。

したがって、$(a,b)$ の存在範囲は

$$ (b+a)(b-3a)>0 $$

を満たす領域（ただし $a\neq 0$、境界線は含まない）である。

**(2)**

方程式が負の実数解を1つ、正の異なる実数解を2つもつための条件は

$$ \frac{b}{a}<-1 $$

である。

したがって、$(a,b)$ の存在範囲は

$$ b<-a \quad (a>0), \qquad b>-a \quad (a<0) $$

で表される領域（ただし $a\neq 0$、境界線は含まない）である。