解説

方針・初手

最大公約数が2次式であるということは、2つの3次式が異なる2つの解を共有することを意味する。

まず、共通因子を調べやすいように、片方の3次式

$$ x^3+2x^2-11x-12 $$

を因数分解する。これにより、共有しうる解の候補が明確になる。

解法1

3次式

$$ x^3+2x^2-11x-12 $$

について、有理数解を調べると $x=3$ が解である。

したがって、

$$ x^3+2x^2-11x-12=(x-3)(x^2+5x+4) $$

であり、さらに

$$ x^2+5x+4=(x+1)(x+4) $$

より、

$$ x^3+2x^2-11x-12=(x-3)(x+1)(x+4) $$

と因数分解できる。

よって、最大公約数が2次式になるためには、

$$ x=3,\ -1,\ -4 $$

のうち2つが、もう一方の3次式

$$ P(x)=x^3+ax^2+(a-22)x-12a+39 $$

の解になればよい。

そこで、それぞれ代入して調べる。

まず $x=3$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} P(3) &=27+9a+3(a-22)-12a+39 \\ &=27+9a+3a-66-12a+39 \\ &=0 \end{aligned} $$

となる。したがって、$x=3$ は $a$ の値によらず常に解である。

次に $x=-1$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} P(-1) &=-1+a-(a-22)-12a+39 \\ &=-1+a-a+22-12a+39 \\ &=60-12a \end{aligned} $$

であるから、

$$ P(-1)=0 \iff 60-12a=0 \iff a=5 $$

となる。

さらに $x=-4$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} P(-4) &=-64+16a-4(a-22)-12a+39 \\ &=-64+16a-4a+88-12a+39 \\ &=63 \end{aligned} $$

となり、これは $a$ によらず $0$ にならない。したがって $x=-4$ は共通解にならない。

以上より、共通解が2つあるのは

$$ x=3,\ -1 $$

のときであり、そのためには

$$ a=5 $$

でなければならない。

このとき最大公約数は

$$ (x-3)(x+1)=x^2-2x-3 $$

である。

解説

一方の3次式を先に因数分解し、その根をもう一方に代入して共通解を探すのが最も簡潔である。

この問題では $x=3$ が常に共通解になるように係数が作られている点が重要である。そのうえで、残りの候補 $x=-1,\ -4$ のどちらが追加で共通解になるかを判定すればよい。

答え

$$ \text{[ア]}=5,\qquad \text{[イ]}=-2,\qquad \text{[ウ]}=-3 $$

したがって、最大公約数は

$$ x^2-2x-3 $$

である。