基礎問題集
数学2 複素数と方程式「高次方程式」の問題11 解説
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解説
方針・初手
$1$ と $3$ が解であるから、与えられた4次式は $(x-1)(x-3)$ を因数にもつ。
したがって、まず $x=1,3$ を代入して $a,b$ を求める。その後、求まった式を $(x-1)(x-3)$ で割れば、残りの2つの解が分かる。
解法1
与えられた方程式を
$$ P(x)=x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b $$
とおく。
$1,3$ がともに解であるから、
$$ P(1)=0,\qquad P(3)=0 $$
が成り立つ。
まず $x=1$ を代入すると、
$$ 1+a+(a+3)+16+b=0 $$
より、
$$ 2a+b+20=0 $$
すなわち、
$$ 2a+b=-20 $$
である。
次に $x=3$ を代入すると、
$$ 3^4+a\cdot 3^3+(a+3)\cdot 3^2+16\cdot 3+b=0 $$
すなわち、
$$ 81+27a+9(a+3)+48+b=0 $$
であるから、
$$ 36a+b+156=0 $$
したがって、
$$ 36a+b=-156 $$
を得る。
ここで
$$ \begin{cases} 2a+b=-20\\ 36a+b=-156 \end{cases} $$
を解くと、差をとって
$$ 34a=-136 $$
より、
$$ a=-4 $$
となる。これを $2a+b=-20$ に代入して、
$$ -8+b=-20 $$
よって、
$$ b=-12 $$
である。
したがって方程式は
$$ x^4-4x^3-x^2+16x-12=0 $$
となる。
すでに $1,3$ が解であるから、$(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ で割ると、
$$ x^4-4x^3-x^2+16x-12=(x^2-4x+3)(x^2-4) $$
と因数分解できる。
さらに
$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$
であるから、
$$ x^4-4x^3-x^2+16x-12=(x-1)(x-3)(x-2)(x+2) $$
となる。
よって、残りの2つの解は
$$ x=2,\ -2 $$
である。
解説
この問題の要点は、「ある数が解である」という条件を見たら、まず代入して係数に関する連立方程式を作ることである。
4次方程式であっても、2つの解が分かっていればその2つに対応する因数 $(x-1)(x-3)$ を取り出せる。すると残りは2次式になるので、最後まで処理しやすい。
答え
$$ a=-4,\qquad b=-12 $$
残りの2つの解は
$$ x=2,\ -2 $$
である。