解説

方針・初手

与えられた4次方程式は

$$ (x^2-px-q^2)(x^2-qx-p^2)=0 $$

と因数分解された形で与えられているので，まず2つの2次方程式

$$ x^2-px-q^2=0,\qquad x^2-qx-p^2=0 $$

をそれぞれ調べる。

各2次方程式が相異なる2個の実数解をもつこと，さらに両者が共通解をもたないことを示せば，もとの4次方程式は相異なる4個の実数解をもつことが分かる。

解法1

まず

$$ x^2-px-q^2=0 $$

について考える。この判別式を $\Delta_1$ とすると，

$$ \Delta_1=p^2+4q^2 $$

である。ここで $p,q$ は実数であり，$pq<0$ だから $p\neq 0,\ q\neq 0$ である。したがって

$$ \Delta_1=p^2+4q^2>0 $$

となる。よってこの方程式は相異なる2個の実数解をもつ。

同様に，

$$ x^2-qx-p^2=0 $$

の判別式を $\Delta_2$ とすると，

$$ \Delta_2=q^2+4p^2>0 $$

だから，これも相異なる2個の実数解をもつ。

以上より，少なくとも実数解は4個ある可能性があるが，2つの2次方程式が共通解をもつと重なってしまう。そこで共通解が存在しないことを示す。

2つの方程式が共通解 $\alpha$ をもつと仮定する。すると

$$ \alpha^2-p\alpha-q^2=0 $$

かつ

$$ \alpha^2-q\alpha-p^2=0 $$

が成り立つ。両式を引くと，

$$ (-p+q)\alpha+(-q^2+p^2)=0 $$

すなわち

$$ (q-p)\alpha+(p^2-q^2)=0 $$

である。ここで

$$ p^2-q^2=(p-q)(p+q)=-(q-p)(p+q) $$

より，

$$ (q-p){\alpha-(p+q)}=0 $$

を得る。

さて，$pq<0$ であるから $p=q$ は不可能である。実際，もし $p=q$ なら $pq=p^2\ge 0$ となってしまう。したがって $q-p\neq 0$ であり，

$$ \alpha=p+q $$

でなければならない。

これを

$$ \alpha^2-p\alpha-q^2=0 $$

に代入すると，

$$ (p+q)^2-p(p+q)-q^2=0 $$

すなわち

$$ p^2+2pq+q^2-p^2-pq-q^2=0 $$

より

$$ pq=0 $$

となる。しかし仮定では $pq<0$ であり，これは矛盾である。

よって2つの2次方程式は共通解をもたない。

したがって，

• $x^2-px-q^2=0$ は相異なる2個の実数解をもつ。
• $x^2-qx-p^2=0$ は相異なる2個の実数解をもつ。
• しかも両者に共通解はない。

以上より，もとの4次方程式

$$ (x^2-px-q^2)(x^2-qx-p^2)=0 $$

は相異なる4個の実数解をもつ。

解説

この問題の要点は，4次方程式を無理に展開して調べないことである。すでに2つの2次式の積の形になっているので，

• それぞれが実数解を2個ずつもつこと
• その解が重ならないこと

の2点を確認すれば十分である。

特に「相異なる4個」を示すには，判別式が正であることだけでは足りず，共通解がないことまで確認する必要がある。この点が見落としやすい。

答え

2つの2次方程式

$$ x^2-px-q^2=0,\qquad x^2-qx-p^2=0 $$

はそれぞれ判別式が

$$ p^2+4q^2>0,\qquad q^2+4p^2>0 $$

であるから，相異なる2個の実数解をもつ。

また，共通解 $\alpha$ があるとすると，2式の差より

$$ (q-p){\alpha-(p+q)}=0 $$

を得る。$pq<0$ より $p\neq q$ なので $\alpha=p+q$ であるが，これを代入すると $pq=0$ となり矛盾する。したがって共通解はない。

よって

$$ (x^2-px-q^2)(x^2-qx-p^2)=0 $$

は相異なる4個の実数解をもつ。