解説

方針・初手

係数がすべて実数であるから、虚数解 $1+2i$ をもつなら、その共役複素数 $1-2i$ も解である。したがって、この4次式は

$$ (x-(1+2i))(x-(1-2i)) $$

を因数にもつ。まずこれを実係数の2次式に直し、残りの2次式を定数項から決めていく。

解法1

$1+2i,\ 1-2i$ を解にもつので、対応する2次因数は

$$ (x-(1+2i))(x-(1-2i)) $$

である。これを計算すると

$$ \begin{aligned} (x-(1+2i))(x-(1-2i)) &=((x-1)-2i)((x-1)+2i) \\ &=(x-1)^2+4 \\ &=x^2-2x+5 \end{aligned} $$

となる。

したがって、もとの4次式は

$$ x^4+ax^3+x^2+bx-50=(x^2-2x+5)(x^2+px+q) $$

と表せる。

右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (x^2-2x+5)(x^2+px+q) &=x^4+(p-2)x^3+(q-2p+5)x^2+(-2q+5p)x+5q \end{aligned} $$

である。これを

$$ x^4+ax^3+x^2+bx-50 $$

と係数比較する。

まず定数項から

$$ 5q=-50 $$

より

$$ q=-10 $$

である。

次に $x^2$ の係数を比べると

$$ q-2p+5=1 $$

であるから、$q=-10$ を代入して

$$ -10-2p+5=1 $$

すなわち

$$ -2p=6 $$

より

$$ p=-3 $$

となる。

したがって $x^3$ の係数は

$$ a=p-2=-3-2=-5 $$

である。よって

$$ a=-5 $$

である。

さらに残りの2次式は

$$ x^2+px+q=x^2-3x-10 $$

であり、因数分解すると

$$ x^2-3x-10=(x-5)(x+2) $$

となる。

したがって実数解は

$$ x=5,\ -2 $$

であり、そのうち大きい方は

$$ 5 $$

である。

解説

この問題の要点は、実係数多項式の虚数解は共役複素数も同時に解になることである。したがって、複素数解を直接扱うのではなく、まず実係数の2次式 $x^2-2x+5$ にまとめるのが最も自然である。

その後は、残りを2次式 $(x^2+px+q)$ とおいて係数比較をすればよい。特に定数項 $5q=-50$ から先に $q$ を決めると計算が整理しやすい。

答え

**(ア)**

$-5$

**(イ)**

$5$