解説

方針・初手

まず $8x^4+6x^2-9$ は $x^2$ を1つの文字とみなすと2次式になるので、そこから因数分解する。

次に4次方程式

$$ 8x^4-6x^3+6x^2-9x-9=0 $$

は、先に得た因数分解を利用して共通因数をつくると処理しやすい。

解法1

はじめに

$$ 8x^4+6x^2-9 $$

を因数分解する。

$y=x^2$ とおくと、

$$ 8y^2+6y-9 $$

となる。これを因数分解すると、

$$ 8y^2+6y-9=(4y-3)(2y+3) $$

である。したがって $y=x^2$ を戻して、

$$ 8x^4+6x^2-9=(4x^2-3)(2x^2+3) $$

となる。

次に、方程式

$$ 8x^4-6x^3+6x^2-9x-9=0 $$

を考える。

前半の

$$ 8x^4+6x^2-9 $$

はすでに因数分解できているので、これを用いてまとめる。実際、

$$ \begin{aligned} 8x^4-6x^3+6x^2-9x-9 &=(8x^4+6x^2-9)-(6x^3+9x) \\ &=(4x^2-3)(2x^2+3)-3x(2x^2+3) \\ &=(2x^2+3)(4x^2-3x-3) \end{aligned} $$

よって方程式は

$$ (2x^2+3)(4x^2-3x-3)=0 $$

と変形できる。

ここで、

$$ 2x^2+3=0 $$

は

$$ x^2=-\frac{3}{2} $$

となり、実数解をもたない。

したがって実数解は

$$ 4x^2-3x-3=0 $$

から求まる。解の公式より、

$$ x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 4\cdot(-3)}}{2\cdot 4} =\frac{3\pm\sqrt{9+48}}{8} =\frac{3\pm\sqrt{57}}{8} $$

である。

解説

この問題の要点は、最初の因数分解をそのまま後半の4次方程式に活用することである。

$8x^4+6x^2-9$ を単独で因数分解できても、それを次の式にどう使うかが見えないと止まりやすい。そこで

$$ 8x^4-6x^3+6x^2-9x-9 =(8x^4+6x^2-9)-(6x^3+9x) $$

と分けると、後半も $3x(2x^2+3)$ と見られるため、共通因数 $(2x^2+3)$ が現れる。

4次方程式を直接解こうとするより、因数分解の流れをつくることが重要である。

答え

因数分解は

$$ 8x^4+6x^2-9=(4x^2-3)(2x^2+3) $$

である。

また、

$$ 8x^4-6x^3+6x^2-9x-9=0 $$

の実数解は

$$ x=\frac{3+\sqrt{57}}{8},\ \frac{3-\sqrt{57}}{8} $$

である。