解説

方針・初手

最初の方程式の実数解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおく。

すると、与えられた条件より $\alpha,\beta,\gamma$ はすべて実数であり、しかも

$$ x^3-px+q=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) $$

と因数分解できる。

このとき、$\alpha+\beta+\gamma,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\ \alpha\beta\gamma$ を係数比較で求め、それを用いて $\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$ を根にもつ三次方程式を作ればよい。

解法1

$x^3-px+q=0$ の3つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とする。

すると

$$ x^3-px+q=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) $$

であるから、係数比較により

$$ \alpha+\beta+\gamma=0, $$

$$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-p, $$

$$ \alpha\beta\gamma=-q $$

を得る。

ここで、$\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$ を根にもつ三次式を考えると、

$$ (x-\alpha^2)(x-\beta^2)(x-\gamma^2) $$

である。これを展開すると

$$ \begin{aligned} (x-\alpha^2)(x-\beta^2)(x-\gamma^2) &=x^3-(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)x^2 \\ &\quad +(\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2)x-\alpha^2\beta^2\gamma^2 \end{aligned} $$

となるので、各係数を求める。

まず、

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) $$

であるから、

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =0^2-2(-p)=2p $$

となる。

次に、

$$ \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 =(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) $$

より、

$$ \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 =(-p)^2-2(-q)\cdot 0=p^2 $$

を得る。

さらに、

$$ \alpha^2\beta^2\gamma^2=(\alpha\beta\gamma)^2=(-q)^2=q^2 $$

である。

したがって、

$$ (x-\alpha^2)(x-\beta^2)(x-\gamma^2) =x^3-2px^2+p^2x-q^2 $$

となる。

よって、方程式

$$ x^3-2px^2+p^2x-q^2=0 $$

の解は $\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$ である。

もとの仮定より $\alpha,\beta,\gamma$ はすべて実数であるから、$\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$ もすべて実数である。ゆえに、

$$ x^3-2px^2+p^2x-q^2=0 $$

の解もすべて実数であることが示された。

解説

この問題の核心は、最初の三次方程式の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおいたとき、次の三次方程式がその平方 $\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$ を根にもつことを見抜く点にある。

実際、もとの方程式には $x^2$ の項がないので $\alpha+\beta+\gamma=0$ となり、これによって

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2,\quad \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 $$

がきれいに $p,\ q$ で表される。単に判別式を計算しようとすると重くなるが、根と係数の関係を使えば短く本質的に示せる。

答え

$x^3-px+q=0$ の実数解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、

$$ \alpha+\beta+\gamma=0,\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-p,\quad \alpha\beta\gamma=-q $$

である。したがって、

$$ (x-\alpha^2)(x-\beta^2)(x-\gamma^2) =x^3-2px^2+p^2x-q^2 $$

となる。

ゆえに、$x^3-2px^2+p^2x-q^2=0$ の解は $\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$ であり、これらはすべて実数である。したがって、この方程式の解もすべて実数である。