解説

方針・初手

まず $x=-\sqrt{2}$ を代入して $f(-\sqrt{2})$ を確かめる。これが $0$ になれば、因数定理より $x+\sqrt{2}$ を因数にもつ。

そのあと、$f(x)$ を $(x+\sqrt{2})(x^2+ax+b)$ とおいて係数比較を行えばよい。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=x^3+(\sqrt{2}+\sqrt{3})x^2+(1+\sqrt{6})x+\sqrt{2} $$

である。

まず $x=-\sqrt{2}$ を代入する。

$$ \begin{aligned} f(-\sqrt{2}) &=(-\sqrt{2})^3+(\sqrt{2}+\sqrt{3})(-\sqrt{2})^2+(1+\sqrt{6})(-\sqrt{2})+\sqrt{2} \\ &=-2\sqrt{2}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot 2-(1+\sqrt{6})\sqrt{2}+\sqrt{2} \\ &=-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{2} \\ &=0 \end{aligned} $$

したがって $f(-\sqrt{2})=[ア]=0$ である。

よって、因数定理より $x=-\sqrt{2}$ は $f(x)=0$ の解であり、

$$ f(x)=(x+\sqrt{2})(x^2+[ウ]x+[エ]) $$

と表せる。したがって

$$ [イ]=\sqrt{2} $$

である。

ここで

$$ f(x)=(x+\sqrt{2})(x^2+ax+b) $$

とおくと、展開して

$$ (x+\sqrt{2})(x^2+ax+b) =x^3+(a+\sqrt{2})x^2+(b+a\sqrt{2})x+b\sqrt{2} $$

となる。これを

$$ x^3+(\sqrt{2}+\sqrt{3})x^2+(1+\sqrt{6})x+\sqrt{2} $$

と係数比較すると、

$$ a+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{3} $$

より

$$ a=\sqrt{3} $$

また、

$$ b\sqrt{2}=\sqrt{2} $$

より

$$ b=1 $$

である。したがって

$$ [ウ]=\sqrt{3},\qquad [エ]=1 $$

となる。

よって

$$ f(x)=(x+\sqrt{2})(x^2+\sqrt{3}x+1) $$

であるから、方程式 $f(x)=0$ は

$$ (x+\sqrt{2})(x^2+\sqrt{3}x+1)=0 $$

となる。

$x^2+\sqrt{3}x+1=0$ を解くと、

$$ x=\frac{-\sqrt{3}\pm\sqrt{3-4}}{2} =\frac{-\sqrt{3}\pm i}{2} $$

したがって解は

$$ x=-\sqrt{2},\ \frac{-\sqrt{3}+i}{2},\ \frac{-\sqrt{3}-i}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、まず $f(-\sqrt{2})$ を計算して因数定理を使うことである。$f(-\sqrt{2})=0$ と分かれば、3次式を1次式と2次式に分解できる。

その後は係数比較で2次式を決定し、最後に2次方程式を解けばよい。複雑に見えるが、計算は丁寧に整理すれば難しくない。

答え

$$ [ア]=0,\quad [イ]=\sqrt{2},\quad [ウ]=\sqrt{3},\quad [エ]=1 $$

$$ [オ],[カ],[キ]=-\sqrt{2},\ \frac{-\sqrt{3}+i}{2},\ \frac{-\sqrt{3}-i}{2} $$

したがって、方程式 $f(x)=0$ の解は

$$ x=-\sqrt{2},\ \frac{-\sqrt{3}+i}{2},\ \frac{-\sqrt{3}-i}{2} $$

である。