基礎問題集

数学2 複素数と方程式「高次方程式」の問題18 解説

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数学2複素数と方程式高次方程式問題18

解説

係数 $a,b$ が実数であるから、複素数解が $2+3i$ ならその共役複素数 $2-3i$ も解になる。

したがって、残る1つの解を $r$ とおき、解と係数の関係を用いて求めればよい。

与えられた3次方程式の3つの解を

$$ 2+3i,\quad 2-3i,\quad r $$

とする。

係数がすべて実数である多項式は、非実数解をもつときその共役複素数も解にもつ。よって、$2-3i$ は他の解の1つである。

さらに、3次方程式

$$ x^3+ax^2+bx+2=0 $$

の3解の積は、解と係数の関係より

$$ (2+3i)(2-3i)r=-2 $$

である。

ここで

$$ (2+3i)(2-3i)=2^2+3^2=13 $$

だから、

$$ 13r=-2 $$

となり、

$$ r=-\frac{2}{13} $$

を得る。

よって、求める他の解は

$$ 2-3i,\quad -\frac{2}{13} $$

である。

この問題の要点は2つである。

まず、係数が実数の多項式では、非実数解は共役な形で現れることである。したがって、$2+3i$ が解だと分かった時点で $2-3i$ も自動的に解になる。

次に、残る1つの解は解と係数の関係、特に「3解の積」を使うとすぐに求まる。3次方程式で定数項が与えられているときは、この積の関係を優先して見るのが有効である。

他の解は

$$ 2-3i,\quad -\frac{2}{13} $$

である。