解説

方針・初手

係数が

$$ 2,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2 $$

と左右対称になっているので、$x \neq 0$ を用いて両辺を $x^2$ で割り、$x+\dfrac{1}{x}$ にまとめるのが自然である。

解法1

与えられた方程式は

$$ 2x^4+x^3+x^2+x+2=0 $$

である。

定数項が $2$ であるから、$x=0$ は解ではない。したがって両辺を $x^2$ で割ることができる。すると

$$ 2x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}=0 $$

となる。

ここで

$$ t=x+\frac{1}{x} $$

とおくと、

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2 $$

であるから、

$$ 2\left(t^2-2\right)+t+1=0 $$

すなわち

$$ 2t^2+t-3=0 $$

を得る。これを因数分解すると

$$ (2t+3)(t-1)=0 $$

であるから、

$$ t=1,\ -\frac{3}{2} $$

となる。

**(i)**

$t=1$ のとき

$$ x+\frac{1}{x}=1 $$

より、両辺に $x$ を掛けて

$$ x^2-x+1=0 $$

となる。よって

$$ x=\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2} =\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2} $$

である。

**(ii)**

$t=-\dfrac{3}{2}$ のとき

$$ x+\frac{1}{x}=-\frac{3}{2} $$

より、両辺に $2x$ を掛けて

$$ 2x^2+3x+2=0 $$

となる。したがって

$$ x=\frac{-3\pm \sqrt{9-16}}{4} =\frac{-3\pm i\sqrt{7}}{4} $$

である。

以上より、求める解は

$$ x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2},\ \frac{-3\pm i\sqrt{7}}{4} $$

である。

解法2

左右対称な係数に注目して、直接因数分解を考える。

$$ 2x^4+x^3+x^2+x+2 =(x^2-ax+1)(2x^2+bx+2) $$

とおくと、展開して

$$ 2x^4+(b-2a)x^3+(4-ab)x^2+(b-2a)x+2 $$

となる。

これが

$$ 2x^4+x^3+x^2+x+2 $$

に一致するから、

$$ \begin{cases} b-2a=1 \\ 4-ab=1 \end{cases} $$

を満たせばよい。

後式より $ab=3$ であり、前式と合わせて確かめると $a=1,\ b=3$ が成り立つ。したがって

$$ 2x^4+x^3+x^2+x+2=(x^2-x+1)(2x^2+3x+2) $$

と因数分解できる。

よって

$$ x^2-x+1=0,\quad 2x^2+3x+2=0 $$

を解けばよく、

$$ x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2},\ \frac{-3\pm i\sqrt{7}}{4} $$

を得る。

解説

係数が左右対称な四次式では、$x^2$ で割って $x+\dfrac{1}{x}$ に置き換える処理が典型である。この方法を使うと四次方程式が二次方程式に落ちるので、計算が大きく簡単になる。

また、この問題は因数分解も可能であり、対称性から $(x^2+\cdots+1)(2x^2+\cdots+2)$ の形を想定すると整理しやすい。どちらの方法でも、最終的には実数解を持たず、複素数解のみが得られる。

答え

$$ x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2},\ \frac{-3\pm i\sqrt{7}}{4} $$