解説

方針・初手

高次方程式は、まず因数分解できる形に直すことが基本である。

（1） は立方差、（2） は平方差を繰り返し用いる。

（3） は次数が高いので、まず有理数解をもつかを調べ、一次式でくくれるかを確認するのが自然である。

解法1

**(1)**

$$ x^3-8=x^3-2^3 $$

であるから、立方差の公式

$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$

を用いると、

$$ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) $$

となる。したがって、

$$ (x-2)(x^2+2x+4)=0 $$

より、

$$ x=2 $$

または

$$ x^2+2x+4=0 $$

である。後者を解くと、

$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{4-16}}{2} =\frac{-2\pm\sqrt{-12}}{2} =-1\pm\sqrt{3}i $$

したがって解は

$$ x=2,\ -1+\sqrt{3}i,\ -1-\sqrt{3}i $$

である。

**(2)**

まず平方差を用いると、

$$ x^4-81=(x^2)^2-9^2=(x^2-9)(x^2+9) $$

さらに

$$ x^2-9=(x-3)(x+3) $$

であるから、

$$ x^4-81=(x-3)(x+3)(x^2+9) $$

となる。よって、

$$ (x-3)(x+3)(x^2+9)=0 $$

より、

$$ x=3,\ -3 $$

または

$$ x^2+9=0 $$

である。後者から

$$ x^2=-9 $$

なので、

$$ x=\pm 3i $$

したがって解は

$$ x=3,\ -3,\ 3i,\ -3i $$

である。

**(3)**

まず有理数解を調べる。候補は

$$ \pm 1,\ \pm \frac12 $$

である。

$x=-1$ を代入すると、

$$ 2(-1)^3-(-1)^2-4(-1)-1=-2-1+4-1=0 $$

となるから、$x+1$ を因数にもつ。

そこで $2x^3-x^2-4x-1$ を $x+1$ で割ると、

$$ 2x^3-x^2-4x-1=(x+1)(2x^2-3x-1) $$

となる。よって方程式は

$$ (x+1)(2x^2-3x-1)=0 $$

と変形できる。

したがって、

$$ x+1=0 $$

より

$$ x=-1 $$

また、

$$ 2x^2-3x-1=0 $$

を解くと、

$$ x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2} =\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{4} =\frac{3\pm\sqrt{17}}{4} $$

したがって解は

$$ x=-1,\ \frac{3+\sqrt{17}}{4},\ \frac{3-\sqrt{17}}{4} $$

である。

解説

この問題では、因数分解の型を見抜けるかどうかが重要である。

（1） は立方差、（2） は平方差であり、公式をそのまま適用すればよい。

（3） は公式ではすぐに処理しにくいので、有理数解の候補を試して一次因数を見つけるのが標準的な方針である。一次因数で割ったあと、残りは二次方程式として処理すればよい。

答え

**(1)**

$$ x=2,\ -1+\sqrt{3}i,\ -1-\sqrt{3}i $$

**(2)**

$$ x=3,\ -3,\ 3i,\ -3i $$

**(3)**

$$ x=-1,\ \frac{3+\sqrt{17}}{4},\ \frac{3-\sqrt{17}}{4} $$