解説

方針・初手

係数がすべて実数である三次方程式に複素数解 $2+i$ があるなら、その共役複素数 $2-i$ も解である。

したがって、まず

$$ (x-(2+i))(x-(2-i)) $$

を因数にもつことを用い、残り1つの実数解を $r$ とおいて係数を比較すればよい。

解法1

与えられた方程式を

$$ f(x)=x^3-2x^2+ax+b $$

とする。

$f(x)$ の係数はすべて実数であり、$2+i$ が解であるから、共役な複素数 $2-i$ も解である。

よって、

$$ f(x)=(x-(2+i))(x-(2-i))(x-r) $$

と表せる。ただし $r$ は残りの1つの解である。

まず、

$$ (x-(2+i))(x-(2-i)) =((x-2)-i)((x-2)+i) =(x-2)^2+1 =x^2-4x+5 $$

である。

したがって、

$$ f(x)=(x^2-4x+5)(x-r) $$

となる。

これを展開すると、

$$ \begin{aligned} f(x) &=x^3-(r+4)x^2+(4r+5)x-5r \end{aligned} $$

である。

これを

$$ x^3-2x^2+ax+b $$

と係数比較すると、

$$ -(r+4)=-2 $$

より

$$ r=-2 $$

を得る。

さらに、

$$ a=4r+5=4(-2)+5=-3 $$

であり、

$$ b=-5r=-5(-2)=10 $$

となる。

したがって方程式は

$$ x^3-2x^2-3x+10=0 $$

であり、その解は

$$ x=2+i,\ 2-i,\ -2 $$

である。

解説

この問題の要点は、「実数係数の多項式では、非実数解は共役な複素数と組で現れる」という性質を使うことである。

$2+i$ だけを代入して $a,b$ を求めることもできるが、共役解 $2-i$ をすぐに押さえて二次因子

$$ x^2-4x+5 $$

を作ると、残り1つの解と係数比較だけで整理でき、計算が見通しよく進む。

答え

$$ a=-3,\qquad b=10 $$

方程式のすべての解は

$$ x=-2,\ 2+i,\ 2-i $$

である。