基礎問題集
数学2 複素数と方程式「高次方程式」の問題22 解説
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解説
方針・初手
係数 $a,b$ は実数であるから、複素数解 $3-i$ をもつとき、その共役複素数 $3+i$ も解である。
したがって、この3次方程式の解を
$$ 3-i,\ 3+i,\ \alpha $$
とおいて、解と係数の関係を用いればよい。
解法1
与えられた方程式を
$$ x^3+ax^2+bx+20=0 $$
とする。
$a,b$ は実数であり、$3-i$ が解であるから、共役な複素数 $3+i$ も解である。よって、残りの1つの解を $\alpha$ とすると、3つの解は
$$ 3-i,\ 3+i,\ \alpha $$
である。
まず、解の積に注目する。3次方程式
$$ x^3+ax^2+bx+20=0 $$
の解の積は
$$ -(20)=-20 $$
であるから、
$$ (3-i)(3+i)\alpha=-20 $$
となる。
ここで
$$ (3-i)(3+i)=3^2+1^2=10 $$
であるから、
$$ 10\alpha=-20 $$
より
$$ \alpha=-2 $$
である。
したがって、この方程式の3つの解は
$$ 3-i,\ 3+i,\ -2 $$
である。
次に、解の和を用いると、
$$ (3-i)+(3+i)+(-2)=-a $$
すなわち
$$ 4=-a $$
より
$$ a=-4 $$
である。
さらに、解の2つずつの積の和を用いると、
$$ (3-i)(3+i)+(3-i)(-2)+(3+i)(-2)=b $$
である。
各項を計算すると、
$$ (3-i)(3+i)=10, \quad (3-i)(-2)=-6+2i, \quad (3+i)(-2)=-6-2i $$
であるから、
$$ b=10+(-6+2i)+(-6-2i)=-2 $$
となる。
よって
$$ a=-4,\quad b=-2 $$
であり、残りの2つの解は
$$ 3+i,\ -2 $$
である。
解説
実数係数の方程式では、非実数解は共役な複素数と対になって現れる。この性質に気づけるかが最初のポイントである。
その後は、3次方程式の解と係数の関係
$$ \alpha+\beta+\gamma=-a,\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b,\quad \alpha\beta\gamma=-20 $$
をそのまま用いればよい。特に今回は、まず積から残りの実数解を求めるのが最も速い。
答え
$$ a=-4,\quad b=-2 $$
残りの2つの解は
$$ 3+i,\ -2 $$
である。