解説

方針・初手

$x=0$ は解でないので，両辺を $x^2$ で割って $x+\dfrac{1}{x}$ の形にまとめるのが自然である。

そこで

$$ y=x+\frac{1}{x} $$

とおくと，4次方程式を $y$ の2次方程式に直すことができる。

解法1

与えられた方程式は

$$ x^4+2x^3-x^2+2x+1=0 $$

である。

$x=0$ は解でないから，両辺を $x^2$ で割ると

$$ x^2+2x-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0 $$

となる。

ここで

$$ y=x+\frac{1}{x} $$

とおくと，

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2 $$

であるから，上の式は

$$ (y^2-2)+2y-1=0 $$

すなわち

$$ y^2+2y-3=0 $$

となる。

したがって

$$ a=2,\quad b=-3 $$

である。

さらに，この2次方程式を解くと

$$ y^2+2y-3=(y-1)(y+3)=0 $$

より，

$$ y=1,,-3 $$

を得る。

ここで $y=x+\dfrac{1}{x}$ が実数となるためには

$$ x+\frac{1}{x}\geqq 2 \quad \text{または} \quad x+\frac{1}{x}\leqq -2 $$

でなければならないので，$y=1$ は不適である。

よって

$$ y=-3 $$

のみが可能であり，

$$ x+\frac{1}{x}=-3 $$

より

$$ x^2+3x+1=0 $$

となる。

これを解いて

$$ x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2} $$

を得る。

解説

この問題の要点は，係数が左右対称に近い形をしていることに着目し，$x+\dfrac{1}{x}$ への置換を行うことである。

4次方程式をそのまま因数分解しようとするより，まず $x^2$ で割って

$$ x^2+\frac{1}{x^2},\quad x+\frac{1}{x} $$

をまとめると見通しがよい。

また，$y=1$ が出ても，$y=x+\dfrac{1}{x}$ の実数範囲を確認して除くことが必要である。この確認を省くと虚しい候補を残してしまう。

答え

$$ \boxed{\text{[ア]}=2,\quad \text{[イ]}=-3} $$

$$ \boxed{\text{[ウ]}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\quad \text{[エ]}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}} $$

したがって，実数解は

$$ \boxed{x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\ \frac{-3-\sqrt{5}}{2}} $$

である。