解説

方針・初手

（1） 有理数解 $r$ を既約分数 $r=\dfrac{p}{q}$ とおき、方程式に代入して整数の割り切りに持ち込む。すると $q=1$ が従い、まず $r$ が整数であることが分かる。さらに元の式を変形すれば、$r$ が定数項 $c$ の約数であることも示せる。

（2） （1） の結果より、有理数解があるならそれは $51$ の約数に限られる。したがって候補を有限個にしぼって調べればよい。

解法1

（1） の証明

有理数 $r$ が

$$ x^3+ax^2+bx+c=0 $$

の解であるとする。

$r$ を既約分数

$$ r=\frac{p}{q} \qquad (p,q\in \mathbb{Z},\ q>0,\ \gcd(p,q)=1) $$

とおく。

これを方程式に代入すると

$$ \left(\frac{p}{q}\right)^3+a\left(\frac{p}{q}\right)^2+b\left(\frac{p}{q}\right)+c=0 $$

であるから、両辺に $q^3$ をかけて

$$ p^3+ap^2q+bpq^2+cq^3=0 $$

を得る。よって

$$ p^3=-q(ap^2+bpq+cq^2) $$

となるので、$q\mid p^3$ である。

ところが $\gcd(p,q)=1$ であるから、$q$ と $p$ は互いに素である。したがって $q\mid p^3$ となるためには

$$ q=1 $$

でなければならない。ゆえに

$$ r=p\in \mathbb{Z} $$

であり、$r$ は整数である。

次に、$r$ がこの方程式の整数解であるから

$$ r^3+ar^2+br+c=0 $$

である。これを $c$ について解くと

$$ c=-r(r^2+ar+b) $$

となる。右辺は $r$ の倍数であるから

$$ r\mid c $$

である。すなわち、$r$ は $c$ の約数である。

以上より、有理数解 $r$ は整数であり、かつ $c$ の約数であることが示された。

（2） の解答

方程式

$$ x^3-16x^2-20x+51=0 $$

の有理数解を求める。

（1） より、有理数解があるならそれは整数であり、しかも $51$ の約数である。したがって候補は

$$ \pm 1,\ \pm 3,\ \pm 17,\ \pm 51 $$

に限られる。

順に調べると、

$$ f(x)=x^3-16x^2-20x+51 $$

として

$$ f(17)=17^3-16\cdot 17^2-20\cdot 17+51 $$

$$ =4913-4624-340+51=0 $$

となるので、$x=17$ は解である。

したがって $(x-17)$ を因数にもつ。実際に因数分解すると

$$ x^3-16x^2-20x+51=(x-17)(x^2+x-3) $$

である。

ここで

$$ x^2+x-3=0 $$

の解は

$$ x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2} $$

であり、$\sqrt{13}$ は無理数なので、これらは有理数解ではない。

ゆえに、この方程式の有理数解は

$$ x=17 $$

のみである。

解説

（1） は、有理数解を既約分数で表して分母に注目するのが基本である。分母 $q$ が $p^3$ を割ることを示し、既約性 $\gcd(p,q)=1$ と合わせて $q=1$ を結論する流れが要点である。

その後は、解 $r$ を方程式に代入して定数項 $c$ を $r$ の倍数として表せば、$r\mid c$ がすぐに従う。これが、いわゆる有理数解の候補を定数項の約数にしぼる原理である。

（2） はその直接利用であり、候補を無限に探すのではなく、$51$ の約数だけを調べればよい。こうして候補を有限個に落とせることが、この問題の本質である。

答え

**(1)**

有理数解 $r$ は整数であり、さらに $c$ の約数である。

**(2)**

有理数解は

$$ x=17 $$

のみである。