解説

方針・初手

求める式は、解の和と解の積で表せる形に変形できる。したがって、この3次方程式の解 $\alpha,\beta,\gamma$ に対して、まず解と係数の関係を用いるのが自然である。

解法1

方程式

$$ x^3-x^2+2x+3=0 $$

の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta+\gamma=1,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=2,\qquad \alpha\beta\gamma=-3 $$

である。

まず、

$$ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) $$

を展開すると、

$$ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) =\alpha\beta\gamma+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+(\alpha+\beta+\gamma)+1 $$

となる。したがって、

$$ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) =-3+2+1+1=1 $$

である。

次に、$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ を求める。

$$ (\alpha+\beta+\gamma)^2 =\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) $$

より、

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) $$

であるから、

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =1^2-2\cdot 2 =1-4 =-3 $$

となる。

よって、求める値は

$$ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2 =1-(-3)=4 $$

である。

解法2

方程式の左辺を

$$ f(x)=x^3-x^2+2x+3 $$

とおくと、

$$ f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) $$

である。

したがって、$x=-1$ を代入すると

$$ f(-1)=(-1-\alpha)(-1-\beta)(-1-\gamma) =-,(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) $$

となる。

一方、

$$ f(-1)=(-1)^3-(-1)^2+2(-1)+3=-1-1-2+3=-1 $$

であるから、

$$ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=1 $$

を得る。

また、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta+\gamma=1,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=2 $$

なので、

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) =1-4=-3 $$

である。

よって、

$$ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2 =1-(-3)=4 $$

となる。

解説

この問題の要点は、個々の解を実際に求めようとしないことである。3次方程式の解に関する対称式は、解と係数の関係を使うと効率よく処理できる。

特に、

$$ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) $$

は展開して基本対称式に直すか、$f(-1)$ を用いて一気に求めるのが典型である。また、

$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 $$

は

$$ (\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) $$

に直すのが基本処理である。

答え

$$ 4 $$