解説

方針・初手

3次方程式の係数と解の関係を用いて、まず

$$ \alpha+\beta+\gamma,\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\quad \alpha\beta\gamma $$

を求める。次に、それらを使って

$$ \frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma},\quad \alpha^2+\beta^2+\gamma^2,\quad \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 $$

を順に計算する。

解法1

$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ を展開すると、

$$ \begin{aligned} (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) &= x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma \end{aligned} $$

である。

これが

$$ x^3+2x^2-3x+1 $$

に等しいので、係数を比較して

$$ \alpha+\beta+\gamma=-2,\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-3,\quad \alpha\beta\gamma=-1 $$

を得る。したがって、

$$ [ア]=-2,\quad [イ]=-3 $$

である。

次に、

$$ \frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma} $$

を求める。通分すると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma} &= \frac{(1-\beta)(1-\gamma)+(1-\gamma)(1-\alpha)+(1-\alpha)(1-\beta)} {(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)} \end{aligned} $$

となる。

分母は

$$ \begin{aligned} (1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) &=1-(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)-\alpha\beta\gamma \\ &=1-(-2)+(-3)-(-1) \\ &=1 \end{aligned} $$

である。

分子は

$$ \begin{aligned} &(1-\beta)(1-\gamma)+(1-\gamma)(1-\alpha)+(1-\alpha)(1-\beta) \\ &=(1-\beta-\gamma+\beta\gamma)+(1-\gamma-\alpha+\gamma\alpha)+(1-\alpha-\beta+\alpha\beta) \\ &=3-2(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ &=3-2(-2)+(-3) \\ &=4 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}=4 $$

となる。よって、

$$ [ウ]=4 $$

である。

さらに、

$$ \begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 &= (\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 &= (-2)^2-2(-3) \\ 4+6 \\ 10 \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ [エ]=10 $$

である。

最後に、$\alpha,\beta,\gamma$ はいずれも

$$ x^3+2x^2-3x+1=0 $$

の解であるから、各解 $t$ について

$$ t^3=-2t^2+3t-1 $$

が成り立つ。これを $t=\alpha,\beta,\gamma$ に対して足し合わせると、

$$ \begin{aligned} \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 &=-2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)+3(\alpha+\beta+\gamma)-3 \\ &=-2\cdot 10+3\cdot(-2)-3 \\ &=-20-6-3 \\ &=-29 \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ [オ]=-29 $$

である。

解説

この問題では、3次方程式の係数と解の関係を正確に使えるかどうかが核心である。特に、

$$ x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma $$

の符号を取り違えないことが重要である。

また、2乗和は

$$ \begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 &= (\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \end{aligned} $$

で求められる。3乗和は、各解がもとの方程式を満たすことから $t^3$ を $t^2,t,1$ で表して和を取ると簡潔に求められる。

答え

$$ [ア]=-2,\quad [イ]=-3,\quad [ウ]=4,\quad [エ]=10,\quad [オ]=-29 $$