解説

方針・初手

$4$次式は $x^3$ の項と $x$ の項をもたないので、一次の項が打ち消し合う形

$$ (x^2-2x+a)(x^2+2x+b) $$

を考えるのが自然である。展開して係数を比較する。

解法1

次のようにおく。

$$ x^4-8x^2+4=(x^2-2x+a)(x^2+2x+b) $$

右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} (x^2-2x+a)(x^2+2x+b) &=x^4+(a+b-4)x^2+2(a-b)x+ab \end{aligned} $$

これが

$$ x^4-8x^2+4 $$

に一致するから、係数比較より

$$ 2(a-b)=0,\quad a+b-4=-8,\quad ab=4 $$

を得る。

まず $2(a-b)=0$ より

$$ a=b $$

である。これを $a+b-4=-8$ に代入すると

$$ 2a-4=-8 $$

より

$$ a=-2 $$

したがって $b=-2$ でもある。

よって

$$ x^4-8x^2+4=(x^2-2x-2)(x^2+2x-2) $$

と因数分解できる。

したがって方程式

$$ x^4-8x^2+4=0 $$

は

$$ (x^2-2x-2)(x^2+2x-2)=0 $$

より、

**(i)**

$x^2-2x-2=0$ のとき

$$ x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt{3} $$

**(ii)**

$x^2+2x-2=0$ のとき

$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}=-1\pm\sqrt{3} $$

以上より解は

$$ x=1+\sqrt{3},\ 1-\sqrt{3},\ -1+\sqrt{3},\ -1-\sqrt{3} $$

である。

解説

一次の項が消える形を見て、$(x^2-2x+a)(x^2+2x+b)$ とおくのが典型である。 展開後に $x$ の係数が $2(a-b)$ となるので、ここから $a=b$ がすぐ分かる。その後は $x^2$ の係数と定数項を合わせればよい。

答え

$$ [カ]=-2,\qquad [キ]=2x-2 $$

$$ [ク]=1+\sqrt{3},\qquad [ケ]=1-\sqrt{3},\qquad [コ]=-1+\sqrt{3},\qquad [サ]=-1-\sqrt{3} $$