解説

方針・初手

与えられた三次方程式の解の1つが $\sqrt{2}$ であるから、まず $x=\sqrt{2}$ を代入して $a$ を求める。

その後、求めた $a$ をもとの方程式に代入し、$(x-\sqrt{2})$ で因数分解して残りの2解を求める。

解法1

$\sqrt{2}$ が

$$ x^3-(a+2)x^2+(2a+6)x-6a=0 $$

の解であるから、$x=\sqrt{2}$ を代入して

$$ (\sqrt{2})^3-(a+2)(\sqrt{2})^2+(2a+6)\sqrt{2}-6a=0 $$

となる。

これを整理すると

$$ 2\sqrt{2}-2(a+2)+(2a+6)\sqrt{2}-6a=0 $$

すなわち

$$ (2a+8)\sqrt{2}-8a-4=0 $$

である。

これに $a=\sqrt{2}$ を代入すると

$$ (2\sqrt{2}+8)\sqrt{2}-8\sqrt{2}-4 =4+8\sqrt{2}-8\sqrt{2}-4 =0 $$

となるので、確かに

$$ a=\sqrt{2} $$

である。

したがって、方程式は

$$ x^3-(\sqrt{2}+2)x^2+(2\sqrt{2}+6)x-6\sqrt{2}=0 $$

となる。

ここで $\sqrt{2}$ が解であるから、$(x-\sqrt{2})$ を因数にもつ。実際に因数分解すると

$$ x^3-(\sqrt{2}+2)x^2+(2\sqrt{2}+6)x-6\sqrt{2} =(x-\sqrt{2})(x^2-2x+6) $$

である。

よって、残りの2解は二次方程式

$$ x^2-2x+6=0 $$

を解けばよい。

判別式は

$$ (-2)^2-4\cdot 1\cdot 6=4-24=-20 $$

であるから、

$$ x=\frac{2\pm \sqrt{-20}}{2} =\frac{2\pm 2i\sqrt{5}}{2} =1\pm i\sqrt{5} $$

となる。

したがって、他の解は

$$ 1+i\sqrt{5},\quad 1-i\sqrt{5} $$

である。

解説

この問題では、まず「$\sqrt{2}$ が解である」という条件をそのまま代入して $a$ を決定するのが基本である。

$a$ が求まった後は、既知の解 $\sqrt{2}$ を用いて $(x-\sqrt{2})$ を因数にもつことを使い、三次式を二次式に落とせばよい。三次方程式では、1つ解が分かれば残りは因数分解または割り算で処理するのが典型である。

答え

$$ \text{[3] } \sqrt{2},\qquad \text{[4] } 1+i\sqrt{5},\qquad \text{[5] } 1-i\sqrt{5} $$