解説

方針・初手

まず、この三次方程式が $x=2$ を常に解にもつことに着目する。実際に因数分解して

$$ (x-2)(\text{二次式})=0 $$

の形に直せば、重解の条件も、相異なる $3$ つの正の解をもつ条件も、二次式の性質に帰着できる。

解法1

与えられた方程式を

$$ f(x)=x^3+(a-2)x^2-(2a-3)x-6 $$

とおく。

まず $x=2$ を代入すると

$$ f(2)=8+4(a-2)-2(2a-3)-6=0 $$

より、$x-2$ は因数である。

実際に因数分解すると

$$ x^3+(a-2)x^2-(2a-3)x-6=(x-2)(x^2+ax+3) $$

である。したがって方程式は

$$ (x-2)(x^2+ax+3)=0 $$

と書ける。

重解をもつ条件

この方程式が重解をもつのは、次のいずれかの場合である。

**(i)**

$x=2$ が二次式 $x^2+ax+3=0$ の解でもある場合

$$ 2^2+2a+3=0 $$

より

$$ 4+2a+3=0 $$

$$ a=-\frac{7}{2} $$

（ii） 二次式 $x^2+ax+3=0$ 自体が重解をもつ場合

判別式を $D$ とすると

$$ D=a^2-12 $$

であるから、重解をもつ条件は

$$ a^2-12=0 $$

すなわち

$$ a=\pm 2\sqrt{3} $$

以上より、重解をもつ $a$ は

$$ a=-\frac{7}{2},\ \pm 2\sqrt{3} $$

である。

相異なる $3$ つの正の解をもつ条件

三次方程式の解は

• $x=2$
• 二次方程式 $x^2+ax+3=0$ の $2$ 解

である。

したがって、相異なる $3$ つの正の解をもつためには、二次方程式 $x^2+ax+3=0$ が

• 相異なる $2$ つの正の解をもち
• そのどちらも $2$ ではない

ことが必要十分である。

二次方程式の $2$ 解を $\alpha,\beta$ とすると、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=-a,\qquad \alpha\beta=3 $$

である。

$\alpha\beta=3>0$ なので、$\alpha,\beta$ は同符号である。これらがともに正になるためには

$$ \alpha+\beta>0 $$

すなわち

$$ -a>0 \quad\Longleftrightarrow\quad a<0 $$

であればよい。

また、相異なる $2$ 実数解をもつためには判別式が正である必要があるから

$$ a^2-12>0 $$

より

$$ a<-2\sqrt{3}\quad \text{または}\quad a>2\sqrt{3} $$

これと $a<0$ を合わせると

$$ a<-2\sqrt{3} $$

となる。

さらに、$x=2$ と二次方程式の解が重なってはいけないので、$2$ が二次方程式の解となる

$$ a=-\frac{7}{2} $$

は除く。

よって、相異なる $3$ つの正の解をもつための条件は

$$ a<-2\sqrt{3},\qquad a\ne -\frac{7}{2} $$

すなわち

$$ -\infty<a<-\frac{7}{2}\quad \text{または}\quad -\frac{7}{2}<a<-2\sqrt{3} $$

である。

解説

この問題の核心は、三次式がまず $x=2$ を解にもつことを見抜く点にある。ここが見えれば、問題は二次方程式 $x^2+ax+3=0$ の判別式と解と係数の関係を調べるだけになる。

「相異なる $3$ つの正の解」を扱うときは、

• 二次方程式が実数解をもつこと
• その $2$ 解がともに正であること
• その解が $2$ と一致しないこと

の $3$ 点を漏れなく確認する必要がある。特に $a=-\dfrac{7}{2}$ の除外を忘れやすいので注意したい。

答え

**(1)**

重解をもつような $a$ の値は

$$ a=-\frac{7}{2},\ \pm 2\sqrt{3} $$

である。

**(2)**

相異なる $3$ つの正の解をもつような $a$ の範囲は

$$ (-\infty,-\frac{7}{2})\cup\left(-\frac{7}{2},-2\sqrt{3}\right) $$

である。