解説

方針・初手

$\alpha+\gamma=2\beta$ より，$\alpha,\beta,\gamma$ は等差数列をなす。 まず解と係数の関係を用いて，真ん中の解 $\beta$ を $a$ で表す。すると $-a$ が $P(x)$ の解であることが分かり，そこから $b$ が求まる。

さらに，$\alpha,\gamma$ が実数である条件は，$P(x)$ から $(x+a)$ をくくり出して得られる2次式の判別式が $0$ 以上であることに言い換えられる。

解法1

3次方程式 $P(x)=0$ の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると，解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta+\gamma=-3a $$

である。

一方，条件 $\alpha+\gamma=2\beta$ より

$$ \alpha+\beta+\gamma=3\beta $$

だから，

$$ 3\beta=-3a $$

すなわち

$$ \beta=-a $$

である。

したがって $-a$ は $P(x)$ の解であるから，

$$ P(-a)=0 $$

となる。これを計算すると

$$ (-a)^3+3a(-a)^2+3a(-a)+b=0 $$

すなわち

$$ -a^3+3a^3-3a^2+b=0 $$

よって

$$ b=-2a^3+3a^2 $$

である。これが （1） の答えである。

次に，この値を用いると

$$ P(x)=x^3+3ax^2+3ax+(-2a^3+3a^2) $$

であり，$x=-a$ を解にもつので

$$ P(x)=(x+a)(x^2+2ax+3a-2a^2) $$

と因数分解できる。

ここで $\alpha,\beta,\gamma$ がすべて実数であるためには，2次式

$$ x^2+2ax+3a-2a^2 $$

も実数解をもてばよい。したがって判別式 $D$ について

$$ D=(2a)^2-4(3a-2a^2) $$

$$ =4a^2-12a+8a^2 $$

$$ =12a^2-12a $$

$$ =12a(a-1) $$

これが $0$ 以上であればよいから，

$$ 12a(a-1)\geqq 0 $$

より

$$ a\leqq 0 \quad \text{または} \quad a\geqq 1 $$

となる。これが （2） の答えである。

最後に，（1） で求めた

$$ b=f(a)=-2a^3+3a^2 $$

を，（2） の範囲

$$ a\leqq 0 \quad \text{または} \quad a\geqq 1 $$

で考える。

グラフの概形を調べるために微分すると，

$$ f'(a)=-6a^2+6a=6a(1-a) $$

である。

したがって，

**(i)**

$a\leqq 0$ では $f'(a)\leqq 0$ であり，$f(a)$ は単調減少する。

**(ii)**

$a\geqq 1$ でも $f'(a)\leqq 0$ であり，$f(a)$ は単調減少する。

また，代表的な点は

$$ f(0)=0,\qquad f(1)=1,\qquad f!\left(\frac32\right)=0 $$

である。

したがってグラフは，3次関数

$$ b=-2a^3+3a^2 $$

のうち，定義域を

$$ a\leqq 0,\qquad a\geqq 1 $$

に制限したものであり，

• $a\leqq 0$ では，左上から下がって $(0,0)$ に至る枝
• $a\geqq 1$ では，$(1,1)$ から出発して単調に下がり，$\left(\dfrac32,0\right)$ を通って右下へ向かう枝

となる。これが （3） のグラフである。

解説

この問題の核心は，$\alpha+\gamma=2\beta$ から「3つの解が等差数列をなす」と見抜くことである。 すると，解の和 $\alpha+\beta+\gamma=-3a$ と組み合わせるだけで，真ん中の解が $\beta=-a$ と直ちに分かる。

ここまで分かれば，$-a$ を $P(x)$ に代入して $b$ を求め，さらに $(x+a)$ で割って2次式を得ればよい。 3つの解がすべて実数である条件は，残りの2解が実数である条件と同値なので，2次式の判別式を調べれば終了する。

答え

**(1)**

$$ b=-2a^3+3a^2 $$

**(2)**

$$ a\leqq 0 \quad \text{または} \quad a\geqq 1 $$

**(3)**

$$ b=f(a)=-2a^3+3a^2 \qquad (a\leqq 0 \text{ または } a\geqq 1) $$

のグラフである。

すなわち，$y=-2a^3+3a^2$ のうち，定義域を $a\leqq 0$ と $a\geqq 1$ に制限した部分であり，$(0,0)$，$(1,1)$，$\left(\dfrac32,0\right)$ を通る。