解説

方針・初手

区間 $(4,5)$ に解があることは、左辺を $F(x)=x^4-20x^2-8\sqrt2 x+32$ とおいて符号変化を調べればよい。

そのうえで、オイラーの方法に従って

$$ x=\sqrt p+\sqrt q+\sqrt r \qquad (p,q,r>0) $$

とおき、対称式

$$ f=p+q+r,\qquad g=pq+qr+rp,\qquad h=pqr $$

で整理する。すると $x$ が満たす 4 次方程式を $f,g,h$ で表せるので、与えられた方程式と係数比較して $f,g,h$ を決定できる。最後に $p,q,r$ を求めて $x$ を簡単にする。

解法1

（1） 区間 $(4,5)$ に解をもつことの証明

$$ F(x)=x^4-20x^2-8\sqrt2 x+32 $$

とおく。

まず

$$ F(4)=4^4-20\cdot 4^2-8\sqrt2\cdot 4+32 =256-320-32\sqrt2+32 =-32-32\sqrt2<0 $$

である。

次に

$$ F(5)=5^4-20\cdot 5^2-8\sqrt2\cdot 5+32 =625-500-40\sqrt2+32 =157-40\sqrt2 $$

であり、

$$ 157^2=24649>3200=(40\sqrt2)^2 $$

より $157>40\sqrt2$ だから

$$ F(5)=157-40\sqrt2>0 $$

である。

$F(x)$ は多項式なので連続である。したがって中間値の定理により、方程式

$$ x^4-20x^2-8\sqrt2 x+32=0 $$

は区間 $(4,5)$ に少なくとも 1 つ解をもつ。

（2） オイラーの方法で $f,g,h$ を求める

$$ x=\sqrt p+\sqrt q+\sqrt r \qquad (p,q,r>0) $$

とおき、

$$ f=p+q+r,\qquad g=pq+qr+rp,\qquad h=pqr $$

とする。

まず

$$ x^2=p+q+r+2(\sqrt{pq}+\sqrt{qr}+\sqrt{rp}) =f+2u $$

とおく。ただし

$$ u=\sqrt{pq}+\sqrt{qr}+\sqrt{rp} $$

である。

ここで $u^2$ を計算すると

$$ \begin{aligned} u^2 &=pq+qr+rp+2(\sqrt{pq}\sqrt{qr}+\sqrt{qr}\sqrt{rp}+\sqrt{rp}\sqrt{pq}) \\ &=g+2(q\sqrt{pr}+r\sqrt{pq}+p\sqrt{qr}) \\ &=g+2\sqrt{pqr}(\sqrt p+\sqrt q+\sqrt r) \\ &=g+2\sqrt h,x \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} x^4 &=(f+2u)^2 \\ &=f^2+4fu+4u^2 \\ &=f^2+2f(x^2-f)+4(g+2\sqrt h,x) \\ &=2fx^2+8\sqrt h,x+4g-f^2 \end{aligned} $$

である。

よって $x$ は

$$ x^4-2fx^2-8\sqrt h,x-(4g-f^2)=0 $$

を満たす。これを

$$ x^4-Ax^2-Bx-C=0 $$

と比べると

$$ A=2f,\qquad B=8\sqrt h,\qquad C=4g-f^2 $$

である。

いま与えられた方程式は

$$ x^4-20x^2-8\sqrt2 x+32=0 $$

であるから、これを

$$ x^4-Ax^2-Bx-C=0 $$

の形に合わせると

$$ A=20,\qquad B=8\sqrt2,\qquad C=-32 $$

である。したがって係数比較により

$$ 2f=20,\qquad 8\sqrt h=8\sqrt2,\qquad 4g-f^2=-32 $$

となるので、

$$ f=10,\qquad h=2,\qquad 4g-100=-32 $$

より

$$ g=17 $$

を得る。

ゆえに

$$ f=10,\qquad g=17,\qquad h=2 $$

である。

**(3)**

$p,q,r$ を求める

$p,q,r$ は 3 次方程式

$$ X^3-fX^2+gX-h=0 $$

の 3 つの解であるから、（2） より

$$ X^3-10X^2+17X-2=0 $$

を解けばよい。

有理数解を調べると $X=2$ を代入して

$$ 2^3-10\cdot 2^2+17\cdot 2-2=8-40+34-2=0 $$

となるから、$X=2$ は解である。よって因数分解して

$$ X^3-10X^2+17X-2=(X-2)(X^2-8X+1) $$

である。

さらに

$$ X^2-8X+1=0 $$

より

$$ X=\frac{8\pm\sqrt{64-4}}{2}=4\pm\sqrt{15} $$

を得る。

したがって

$$ p,\ q,\ r=2,\ 4+\sqrt{15},\ 4-\sqrt{15} $$

である。

（4） 解の簡略化と区間 $(4,5)$ の確認

（3） の結果を用いると

$$ x=\sqrt2+\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \left(\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}\right)^2 &=(4+\sqrt{15})+(4-\sqrt{15})+2\sqrt{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})} \\ &=8+2\sqrt{16-15} \\ &=10 \end{aligned} $$

となるので、

$$ \sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}=\sqrt{10} $$

である。よって求める解は

$$ x=\sqrt{10}+\sqrt2 $$

と簡略化される。

この $x$ が $(4,5)$ にあることを示す。$x>0$ なので 2 乗して比較すれば十分であり、

$$ x^2=(\sqrt{10}+\sqrt2)^2=12+4\sqrt5 $$

である。

まず $\sqrt5>1$ より

$$ x^2=12+4\sqrt5>12+4=16 $$

だから $x>4$ である。

また $\sqrt5<3$ より

$$ x^2=12+4\sqrt5<12+12=24<25 $$

だから $x<5$ である。

したがって

$$ 4<x<5 $$

が成り立つ。

解説

この問題の要点は、$x=\sqrt p+\sqrt q+\sqrt r$ とおいたときに、$\sqrt{pq}+\sqrt{qr}+\sqrt{rp}$ を補助的に導入して $x^4$ を整理することである。直接 $x^4$ を展開すると煩雑になるが、対称式

$$ f=p+q+r,\qquad g=pq+qr+rp,\qquad h=pqr $$

でまとめると、係数比較で $f,g,h$ が一気に決まる。

そのあと $p,q,r$ は 3 次方程式の根として求めればよい。最後の簡略化では

$$ (\sqrt\alpha+\sqrt\beta)^2=\alpha+\beta+2\sqrt{\alpha\beta} $$

を逆向きに使うのが典型処理である。

答え

**(1)**

$$ F(4)=-32-32\sqrt2<0,\qquad F(5)=157-40\sqrt2>0 $$

より、中間値の定理によって方程式 $(*)$ は区間 $(4,5)$ に解をもつ。

**(2)**

$$ A=2f,\qquad B=8\sqrt h,\qquad C=4g-f^2 $$

であり、与えられた方程式との比較から

$$ f=10,\qquad g=17,\qquad h=2 $$

である。

**(3)**

$$ X^3-fX^2+gX-h=0 $$

は

$$ X^3-10X^2+17X-2=0 $$

となり、その 3 解は

$$ p,\ q,\ r=2,\ 4+\sqrt{15},\ 4-\sqrt{15} $$

である。

**(4)**

求める解は

$$ x=\sqrt2+\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}} =\sqrt2+\sqrt{10} $$

であり、

$$ 4<\sqrt{10}+\sqrt2<5 $$

したがって区間 $(4,5)$ にある解は

$$ \boxed{x=\sqrt{10}+\sqrt2} $$

である。