解説

方針・初手

（1） は $y=x+\dfrac{1}{x}$ から、まず $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ を $y$ で表し、それを用いて高次の対称式を順に表す。

（2） は係数が左右対称なので、$\alpha\neq 0$ を確認してから $\alpha^3$ で割り、

$$ \alpha+\frac{1}{\alpha} $$

で置き換えるのが基本方針である。すると （1） の結果がそのまま使える。

解法1

**(1)**

$$ y=x+\frac{1}{x} $$

より、

$$ y^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2} $$

であるから、

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2 $$

を得る。

したがって、

$$ x^3+\frac{1}{x^3} =\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right) =y^3-3y $$

である。

また、

$$ \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2 =x^4+2+\frac{1}{x^4} $$

より、

$$ x^4+\frac{1}{x^4} =\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2 =(y^2-2)^2-2 =y^4-4y^2+2 $$

となる。

**(2)**

方程式

$$ \alpha^6+\alpha^5-9\alpha^4-10\alpha^3-9\alpha^2+\alpha+1=0 $$

を考える。定数項が $1$ であるから $\alpha=0$ は解ではない。よって $\alpha^3$ で割ることができる。

$$ \alpha^3+\alpha^2-9\alpha-10-\frac{9}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\alpha^3}=0 $$

これをまとめると、

$$ \left(\alpha^3+\frac{1}{\alpha^3}\right) +\left(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}\right) -9\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)-10=0 $$

となる。

ここで

$$ y=\alpha+\frac{1}{\alpha} $$

とおくと、（1） より

$$ \alpha^3+\frac{1}{\alpha^3}=y^3-3y,\qquad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=y^2-2 $$

であるから、

$$ (y^3-3y)+(y^2-2)-9y-10=0 $$

すなわち

$$ y^3+y^2-12y-12=0 $$

を得る。これを因数分解すると、

$$ y^3+y^2-12y-12=(y+1)(y^2-12)=0 $$

より、

$$ y=-1,\ 2\sqrt{3},\ -2\sqrt{3} $$

である。

次に、それぞれについて

$$ \alpha+\frac{1}{\alpha}=y $$

すなわち

$$ \alpha^2-y\alpha+1=0 $$

を解く。

**(i)**

$y=-1$ のとき

$$ \alpha^2+\alpha+1=0 $$

より、

$$ \alpha=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} $$

**(ii)**

$y=2\sqrt{3}$ のとき

$$ \alpha^2-2\sqrt{3}\alpha+1=0 $$

より、

$$ \alpha=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12-4}}{2} =\sqrt{3}\pm\sqrt{2} $$

**(iii)**

$y=-2\sqrt{3}$ のとき

$$ \alpha^2+2\sqrt{3}\alpha+1=0 $$

より、

$$ \alpha=\frac{-2\sqrt{3}\pm\sqrt{12-4}}{2} =-\sqrt{3}\pm\sqrt{2} $$

したがって、求める複素数 $\alpha$ はすべて

$$ \frac{-1+i\sqrt{3}}{2},\ \frac{-1-i\sqrt{3}}{2},\ \sqrt{3}+\sqrt{2},\ \sqrt{3}-\sqrt{2},\ -\sqrt{3}+\sqrt{2},\ -\sqrt{3}-\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、$x+\dfrac{1}{x}$ や $\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$ のような「逆数を含む対称な形」を1文字でおくことである。

（1） では、

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2 $$

を起点にして、3乗・4乗へと広げていくのが標準的な処理である。

（2） では、与えられた6次式の係数が左右対称なので、$\alpha^3$ で割ると

$$ \alpha^k+\frac{1}{\alpha^k} $$

の形に整理できる。そこで （1） の結果がそのまま利用でき、6次方程式が3次方程式に落ちる。この種の問題では、対称性に気づけるかどうかが決定的である。

答え

**(1)**

$$ x^3+\frac{1}{x^3}=y^3-3y,\qquad x^4+\frac{1}{x^4}=y^4-4y^2+2 $$

**(2)**

$$ \alpha=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2},\ \sqrt{3}\pm\sqrt{2},\ -\sqrt{3}\pm\sqrt{2} $$

である。