基礎問題集
数学2 複素数と方程式「高次方程式」の問題34 解説
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解説
方針・初手
$-1$ がこの3次方程式の解であることから、まず $x=-1$ を代入して $a$ を求める。
そのあと、求まった $a$ をもとの式に代入し、$(x+1)$ を因数にもつことを用いて因数分解すれば、残りの2つの解が分かる。
解法1
方程式
$$ x^3-4x^2+ax+6=0 $$
の1つの解が $-1$ であるから、$x=-1$ を代入すると
$$ (-1)^3-4(-1)^2+a(-1)+6=0 $$
すなわち
$$ -1-4-a+6=0 $$
となる。よって
$$ 1-a=0 $$
より
$$ a=1 $$
である。
したがって、方程式は
$$ x^3-4x^2+x+6=0 $$
となる。
ここで、$x=-1$ が解であるから、この式は $(x+1)$ を因数にもつ。実際に割ると
$$ x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6) $$
である。
さらに
$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $$
であるから、
$$ x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3) $$
と因数分解できる。
よって、解は
$$ x=-1,\ 2,\ 3 $$
であり、他の2つの解は $2,3$ である。
解説
「ある数が解である」と分かっているときは、その値を代入して未知の係数を決めるのが基本である。
その後は、その解に対応する一次式を因数にもつので、因数分解または組立除法で残りの因数を求めればよい。この問題では、$-1$ が解なので $(x+1)$ が因数になる点が重要である。
答え
$$ a=1 $$
他の2つの解は
$$ 2,\ 3 $$
である。