解説

方針・初手

左辺は

$$ x^3+nx^2+n^2x=x(x^2+nx+n^2) $$

と因数分解できる。正の整数解 $x=\alpha$ を代入すると，素数 $p$ が 2 つの整数の積として表されるので，まずそのことから $\alpha$ を絞る。

そのうえで，(2) では (1) の結果を用いて $x=1$ が 1 つの解であることを使い，残り 2 つの解を複素共役な $k\pm \sqrt2,i$ とみて係数比較を行う。

解法1

与えられた方程式を

$$ x(x^2+nx+n^2)=p $$

と書く。

正の整数解 $x=\alpha$ をもつので，

$$ \alpha(\alpha^2+n\alpha+n^2)=p $$

である。

ここで $\alpha$ は正の整数である。また

$$ \alpha^2+n\alpha+n^2 =\left(\alpha+\frac n2\right)^2+\frac{3n^2}{4} $$

であるから，これは常に非負であり，$n=0$ のときも $\alpha^2>0$ なので結局正の整数である。

したがって，素数 $p$ が 2 つの正の整数の積で表されたことになるから，

$$ \alpha=1 $$

でなければならない。これで (1) は示された。

さらに $\alpha=1$ を元の方程式に代入すると，

$$ 1+n+n^2=p $$

を得る。

次に (2) を考える。係数が実数であるから，$k+\sqrt2,i$ が解ならば，共役複素数

$$ k-\sqrt2,i $$

も解である。

よって 3 つの解は

$$ 1,\quad k+\sqrt2,i,\quad k-\sqrt2,i $$

である。したがって多項式

$$ x^3+nx^2+n^2x-p $$

は

$$ (x-1){x-(k+\sqrt2,i)}{x-(k-\sqrt2,i)} $$

と因数分解できる。複素共役の積をまとめると，

$$ {x-(k+\sqrt2,i)}{x-(k-\sqrt2,i)} =(x-k)^2+2 =x^2-2kx+k^2+2 $$

であるから，

$$ x^3+nx^2+n^2x-p =(x-1)(x^2-2kx+k^2+2) $$

となる。これを展開すると，

$$ \begin{aligned} (x-1)(x^2-2kx+k^2+2) &=x^3+(-2k-1)x^2+(k^2+2k+2)x-(k^2+2) \end{aligned} $$

である。

これを

$$ x^3+nx^2+n^2x-p $$

と係数比較して，

$$ n=-2k-1,\qquad n^2=k^2+2k+2,\qquad p=k^2+2 $$

を得る。

最初の式から

$$ k=-\frac{n+1}{2} $$

である。これを $n^2=k^2+2k+2$ に代入すると，

$$ n^2=\left(-\frac{n+1}{2}\right)^2+2\left(-\frac{n+1}{2}\right)+2 $$

すなわち

$$ n^2=\frac{(n+1)^2}{4}-(n+1)+2 =\frac{n^2-2n+5}{4} $$

となるので，

$$ 4n^2=n^2-2n+5 $$

より

$$ 3n^2+2n-5=0 $$

を得る。これを解くと，

$$ n=\frac{-2\pm 8}{6} $$

であるから，

$$ n=1,\quad -\frac53 $$

となる。$n$ は整数なので，

$$ n=1 $$

である。

よって

$$ p=1+n+n^2=1+1+1=3 $$

となる。

解説

この問題の核心は，左辺を

$$ x(x^2+nx+n^2) $$

と見て，素数 $p$ の積表示に持ち込むことである。これにより正の整数解はただちに $1$ に限られる。

(2) では，実係数多項式の非実数解は共役も解になることを使う。1 つの実数解 $1$ がすでに分かっているので，残り 2 解を $k\pm \sqrt2,i$ として因数分解し，係数比較すれば一意に $n$，ひいては $p$ が決まる。

答え

**(1)**

正の整数解 $\alpha$ は

$$ \alpha=1 $$

である。

**(2)**

求める素数は

$$ p=3 $$

である。