基礎問題集
数学2 複素数と方程式「高次方程式」の問題36 解説
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解説
方針・初手
3次方程式の解と係数の関係を用いる。 $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ を展開した形と、与えられた
$$ x^3-13x-12 $$
の係数を比較すれば、$\alpha+\beta+\gamma$ および $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ が分かる。 その後、
$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) $$
を用いて求める。
解法1
解が $\alpha,\beta,\gamma$ であるから、
$$ (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) =x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma $$
である。
これが
$$ x^3-13x-12 $$
に等しいので、係数を比較すると
$$ \alpha+\beta+\gamma=0 $$
および
$$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-13 $$
を得る。
したがって、
$$ \alpha+\beta+\gamma=0 $$
であるから、[②] は $0$ である。
次に、
$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) $$
より、
$$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =0^2-2(-13) =26 $$
となる。
よって、[③] は $26$ である。
解説
この問題は、解そのものを求める必要はなく、解と係数の関係だけで処理できる典型問題である。 3次方程式
$$ x^3+ax^2+bx+c=0 $$
の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、
$$ \alpha+\beta+\gamma=-a,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b $$
が成り立つ。
本問では $x^2$ の係数が $0$ であるため、$\alpha+\beta+\gamma=0$ がすぐに出る。 その後、2乗和の公式に結びつけるのが基本処理である。
答え
[②] $0$
[③] $26$