解説

方針・初手

$a$ を含む項と含まない項に分けて整理すると，共通因子 $(x-2)$ が現れる。 まず $f(x)$ を因数分解し，その後，重解をもつ条件を「同じ因子が2回以上現れること」から調べる。

解法1

まず，

$$ f(x)=ax^3-(a+2)x^2-(2a-5)x-2 $$

を $a$ を含む部分と含まない部分に分けると，

$$ f(x)=a(x^3-x^2-2x)+(-2x^2+5x-2) $$

である。

ここで，

$$ x^3-x^2-2x=x(x^2-x-2)=x(x-2)(x+1) $$

また，

$$ -2x^2+5x-2=-(2x^2-5x+2)=-(2x-1)(x-2) $$

であるから，

$$ f(x)=a x(x-2)(x+1)-(2x-1)(x-2) $$

となる。よって $(x-2)$ をくくると，

$$ f(x)=(x-2){ax(x+1)-(2x-1)} $$

すなわち，

$$ f(x)=(x-2)(ax^2+(a-2)x+1) $$

と因数分解できる。

したがって （1） の答えは

$$ f(x)=(x-2)(ax^2+(a-2)x+1) $$

である。

次に，（2） を考える。 $f(x)=0$ が重解をもつのは，この因数分解において同じ解が重なるときである。

（i） $x=2$ が2次式の解でもある場合

$x=2$ を $ax^2+(a-2)x+1$ に代入すると，

$$ 4a+2(a-2)+1=6a-3 $$

である。これが $0$ となればよいから，

$$ 6a-3=0 $$

より，

$$ a=\frac12 $$

を得る。

（ii） 2次式 $ax^2+(a-2)x+1=0$ 自体が重解をもつ場合

2次方程式が重解をもつ条件は判別式 $D=0$ である。したがって，

$$ D=(a-2)^2-4a $$

より，

$$ (a-2)^2-4a=0 $$

$$ a^2-8a+4=0 $$

となる。これを解くと，

$$ a=\frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}=4\pm2\sqrt3 $$

を得る。

以上より，重解をもつ $a$ の値は

$$ a=\frac12,\ 4+2\sqrt3,\ 4-2\sqrt3 $$

である。

解説

この問題の要点は，最初から無理に3次式として扱うのではなく，$a$ を含む部分と含まない部分に分けて整理することである。すると $(x-2)$ という共通因子が自然に現れ，重解の条件も見通しよく調べられる。

重解の生じ方は2通りある。

1. 一次因子 $(x-2)$ と二次因子が同じ解 $x=2$ をもつ場合 2. 二次因子そのものが重解をもつ場合

この2つを漏れなく調べることが重要である。

答え

**(1)**

$$ f(x)=(x-2)(ax^2+(a-2)x+1) $$

**(2)**

$f(x)=0$ が重解をもつのは

$$ a=\frac12,\ 4+2\sqrt3,\ 4-2\sqrt3 $$

のときである。