解説

方針・初手

有理数解を既約分数で表し、方程式に代入して分母に関する条件を調べる。係数が整数で、しかも $x^2$ の係数が $1$ であることを使うと、分母は $1$ でなければならないことが分かる。

解法1

$\alpha$ は有理数であるから、互いに素な整数 $a,b$（$b>0$）を用いて

$$ \alpha=\frac{a}{b} $$

と表せる。

これを $f(x)=x^2+px+q$ に代入すると、

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^2+p\left(\frac{a}{b}\right)+q=0 $$

である。両辺に $b^2$ を掛けると、

$$ a^2+pab+qb^2=0 $$

となる。したがって

$$ a^2=-pab-qb^2 $$

であるから、右辺は $b$ の倍数であり、$a^2$ は $b$ の倍数である。つまり

$$ b\mid a^2 $$

である。

ここで $a,b$ は互いに素である。もし $b>1$ なら、$b$ の素因数のうちある素数 $r$ が存在して $r\mid b$ となる。このとき $b\mid a^2$ より $r\mid a^2$ であるから、素数の性質より $r\mid a$ となる。すると $r$ は $a,b$ の公約数となり、$a,b$ が互いに素であることに反する。

よって $b=1$ である。したがって

$$ \alpha=a $$

となり、$\alpha$ は整数である。

解法2

有理数 $\alpha$ を既約分数 $\alpha=\dfrac{a}{b}$（$b>0,\ \gcd(a,b)=1$）とする。

$f(\alpha)=0$ より

$$ \frac{a^2+pab+qb^2}{b^2}=0 $$

すなわち

$$ a^2+pab+qb^2=0 $$

である。

この式を $\bmod b$ で見ると、$pab$ も $qb^2$ も $b$ で割り切れるので、

$$ a^2\equiv 0 \pmod{b} $$

となる。したがって $b\mid a^2$ である。

ところが $\gcd(a,b)=1$ なので、$a$ は $b$ と共通の素因数をもたない。よって $a^2$ も $b$ と共通の素因数をもたないから、$b\mid a^2$ となるためには $b=1$ しかない。

ゆえに

$$ \alpha=\frac{a}{b}=a $$

であり、$\alpha$ は整数である。

解説

本問の核心は、「整数係数の首位係数 $1$ の多項式の有理数解は、既約分数で書いたとき分母が $1$ になる」という点である。これは有理根定理の最も基本的な場合である。

この問題では一般定理をそのまま使わなくても、$\alpha=\dfrac{a}{b}$ を代入して $b\mid a^2$ を導き、既約分数の条件 $\gcd(a,b)=1$ と矛盾させれば十分である。計算自体は短いが、「互いに素」と「素因数」の議論を省略せずに書くことが重要である。

答え

有理数 $\alpha$ が $x^2+px+q=0$ の解であるとき、$\alpha$ を既約分数 $\alpha=\dfrac{a}{b}$ とおくと $b\mid a^2$ が成り立つ。ところが $\gcd(a,b)=1$ であるから $b=1$ となる。したがって

$$ \alpha\in \mathbb{Z} $$

である。