解説

方針・初手

$x+\dfrac{2}{x}$ という形が与えられているので、式全体を $x^2,\ \dfrac{1}{x^2},\ x,\ \dfrac{1}{x}$ のまとまりに分けて $t$ で表すのが自然である。

特に

$$ \left(x+\frac{2}{x}\right)^2=x^2+4+\frac{4}{x^2} $$

より、

$$ x^2+\frac{4}{x^2}=t^2-4 $$

と直せることが決め手である。

解法1

与えられた方程式は

$$ x^2-5x+8-\frac{10}{x}+\frac{4}{x^2}=0 $$

である。これを

$$ \left(x^2+\frac{4}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{2}{x}\right)+8=0 $$

とまとめる。

ここで $t=x+\dfrac{2}{x}$ とおくと、

$$ x^2+\frac{4}{x^2}=t^2-4 $$

であるから、方程式は

$$ (t^2-4)-5t+8=0 $$

すなわち

$$ t^2-5t+4=0 $$

となる。よって

$$ [\text{ア}]=5,\qquad [\text{イ}]=4 $$

である。

次に $t^2-5t+4=0$ を解くと、

$$ (t-1)(t-4)=0 $$

より

$$ t=1,\ 4 $$

である。

**(i)**

$t=1$ のとき

$$ x+\frac{2}{x}=1 $$

より

$$ x^2-x+2=0 $$

となる。この判別式は

$$ (-1)^2-4\cdot 1\cdot 2=-7<0 $$

であるから、実数解をもたない。

**(ii)**

$t=4$ のとき

$$ x+\frac{2}{x}=4 $$

より

$$ x^2-4x+2=0 $$

となる。これを解いて

$$ x=\frac{4\pm \sqrt{16-8}}{2} =\frac{4\pm \sqrt{8}}{2} =2\pm \sqrt{2} $$

を得る。

したがって、方程式の実数解は

$$ x=2\pm \sqrt{2} $$

である。よって

$$ [\text{ウ}]=2,\qquad [\text{エ}]=2 $$

である。

解説

この問題では、$x+\dfrac{2}{x}$ を文字 $t$ に置いたあと、元の式を本当に $t$ だけで表せる形に整理できるかがポイントである。

$x^2+\dfrac{4}{x^2}$ をそのまま扱うのではなく、

$$ \left(x+\frac{2}{x}\right)^2 $$

を先に考えることで $t^2-4$ と表せる。この処理は、$x+\dfrac{a}{x}$ 型の置換で頻出である。

また、$t$ の値が出ても、そこからさらに $x$ の実数解が存在するかを判別する必要がある。$t=1$ を捨てずに確認することが重要である。

答え

$$ [\text{ア}]=5,\qquad [\text{イ}]=4,\qquad [\text{ウ}]=2,\qquad [\text{エ}]=2 $$

方程式の実数解は

$$ x=2\pm \sqrt{2} $$

である。