解説

方針・初手

自然数解があるという条件から、まずその値を絞る。

この方程式は首項係数が $1$ の整数係数多項式であるから、整数解があれば定数項 $-2$ の約数でなければならない。したがって、自然数解の候補は $1,2$ に限られる。

解法1

与えられた方程式を

$$ f(x)=x^3+nx^2+(n-6)x-2 $$

とおく。

自然数解を $a$ とすると、上で述べたように $a=1$ または $a=2$ である。

**(i)**

$a=1$ のとき

$$ f(1)=1+n+(n-6)-2=2n-7 $$

となる。これが $0$ となるには

$$ 2n-7=0 $$

すなわち

$$ n=\frac{7}{2} $$

でなければならないが、$n$ は自然数なので不適である。

**(ii)**

$a=2$ のとき

$$ f(2)=8+4n+2(n-6)-2 $$

より

$$ f(2)=8+4n+2n-12-2=6n-6=6(n-1) $$

となる。これが $0$ となるには

$$ n=1 $$

である。

したがって、自然数解をもつのは $n=1$ の場合だけであり、そのとき方程式は

$$ x^3+x^2-5x-2=0 $$

となる。しかも $x=2$ が解だから、

$$ x^3+x^2-5x-2=(x-2)(x^2+3x+1) $$

と因数分解できる。

よって残りの2解は、2次方程式

$$ x^2+3x+1=0 $$

の解であるから、

$$ x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2} $$

となる。

以上より、自然数の解は $2$、他の2解は

$$ \frac{-3+\sqrt{5}}{2},\quad \frac{-3-\sqrt{5}}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、自然数解を直接探しにいく前に「整数係数の首一多項式の整数解は定数項の約数に限られる」という事実を使うことである。

定数項が $-2$ なので候補は $1,2$ しかなく、ここまで絞れれば代入計算だけで $n$ が決まる。その後は1つ解が分かっているので因数分解し、残りは2次方程式として処理すればよい。

答え

自然数の解は

$$ 2 $$

他の2解は

$$ \frac{-3+\sqrt{5}}{2},\quad \frac{-3-\sqrt{5}}{2} $$

である。