解説

方針・初手

$1,2$ がこの4次方程式の解であるから，多項式は $(x-1)(x-2)$ を因数にもつ。

したがって，残りの2つの解をもつ2次式を $x^2+px+q$ とおけば，

$$ x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=(x-1)(x-2)(x^2+px+q) $$

と表せる。これを展開して係数比較すればよい。

解法1

まず，

$$ (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 $$

であるから，

$$ (x^2-3x+2)(x^2+px+q) $$

を展開する。

すると，

$$ \begin{aligned} (x^2-3x+2)(x^2+px+q) &=x^4+(p-3)x^3+(q-3p+2)x^2+(-3q+2p)x+2q \end{aligned} $$

となる。

これが

$$ x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b $$

に一致するので，係数比較により

$$ a=p-3 $$

$$ a+3=q-3p+2 $$

$$ -3q+2p=16 $$

$$ b=2q $$

を得る。

ここで $a=p-3$ より

$$ a+3=p $$

である。これを $a+3=q-3p+2$ に代入すると，

$$ p=q-3p+2 $$

すなわち

$$ q=4p-2 $$

となる。

これを $-3q+2p=16$ に代入して，

$$ -3(4p-2)+2p=16 $$

$$ -12p+6+2p=16 $$

$$ -10p=10 $$

$$ p=-1 $$

よって，

$$ q=4(-1)-2=-6 $$

である。

したがって，

$$ a=p-3=-1-3=-4 $$

$$ b=2q=2(-6)=-12 $$

となる。

残りの2つの解は

$$ x^2+px+q=x^2-x-6=0 $$

の解であるから，

$$ (x-3)(x+2)=0 $$

より

$$ x=3,,-2 $$

である。

解法2

解を $1,2,\alpha,\beta$ とする。

4次方程式

$$ x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=0 $$

に対して，解と係数の関係より

$$ 1+2+\alpha+\beta=-a $$

$$ 1\cdot 2+(1+2)(\alpha+\beta)+\alpha\beta=a+3 $$

$$ 1\cdot 2(\alpha+\beta)+1\cdot \alpha\beta+2\cdot \alpha\beta=-16 $$

$$ 1\cdot 2\cdot \alpha\beta=b $$

すなわち，

$$ 3+(\alpha+\beta)=-a $$

$$ 2+3(\alpha+\beta)+\alpha\beta=a+3 $$

$$ 2(\alpha+\beta)+3\alpha\beta=-16 $$

$$ 2\alpha\beta=b $$

を得る。

ここで $3+(\alpha+\beta)=-a$ より

$$ a=-3-(\alpha+\beta) $$

であるから，これを

$$ 2+3(\alpha+\beta)+\alpha\beta=a+3 $$

に代入すると，

$$ 2+3(\alpha+\beta)+\alpha\beta=-(\alpha+\beta) $$

となり，

$$ \alpha\beta=-4(\alpha+\beta)-2 $$

を得る。

これを

$$ 2(\alpha+\beta)+3\alpha\beta=-16 $$

に代入すると，

$$ 2(\alpha+\beta)+3{-4(\alpha+\beta)-2}=-16 $$

$$ -10(\alpha+\beta)-6=-16 $$

$$ \alpha+\beta=1 $$

したがって，

$$ \alpha\beta=-4\cdot 1-2=-6 $$

である。

よって $\alpha,\beta$ は

$$ t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta=0 $$

すなわち

$$ t^2-t-6=0 $$

の解であるから，

$$ t=3,,-2 $$

となる。

したがって，

$$ a=-3-(\alpha+\beta)=-4,\qquad b=2\alpha\beta=2(-6)=-12 $$

である。

解説

この問題の本質は，既知の解 $1,2$ から $(x-1)(x-2)$ を因数として取り出すことである。

そのあとに残る2次式を $x^2+px+q$ とおいて係数比較するのが最も素直である。4次方程式でも，既知の解が与えられているときは次数を下げるのが基本方針である。

解と係数の関係でも解けるが，式がやや見えにくくなるので，試験では解法1のほうが安定しやすい。

答え

$$ a=-4,\qquad b=-12 $$

残りの解は

$$ 3,,-2 $$

である。

したがって，

**[オ]** $=-4$，**[カ]** $=-12$，**[キ]** $=3$，**[ク]** $=-2$ である。