解説

方針・初手

元の2次方程式の解を $\alpha,\beta$ とするとき，まず $\alpha+\beta,\alpha\beta$ を求める。

そのうえで

$$ u=\alpha-\frac{1}{\alpha},\quad v=\beta-\frac{1}{\beta} $$

とおき，$u+v,\ uv$ を対称式で表せば，$u,v$ を解にもつ2次方程式が定まる。

さらに，3次方程式 $2x^3+ax+b=0$ は $x^2$ の項をもたないので，解の和に注目すると残る1つの解もただちに求まる。

解法1

$\alpha,\beta$ は $2x^2-4x+1=0$ の解であるから，解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=\frac{4}{2}=2,\qquad \alpha\beta=\frac{1}{2} $$

である。

ここで

$$ u=\alpha-\frac{1}{\alpha},\qquad v=\beta-\frac{1}{\beta} $$

とおく。

まず和を求めると，

$$ \begin{aligned} u+v &=\left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)+\left(\beta-\frac{1}{\beta}\right) \\ &=(\alpha+\beta)-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right) \\ &=(\alpha+\beta)-\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} \\ &=2-\frac{2}{1/2} \\ &=2-4 \\ &=-2 \end{aligned} $$

である。

次に積を求める。

$$ \begin{aligned} uv &=\left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta}\right) \\ &=\alpha\beta-\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha\beta} \end{aligned} $$

ここで

$$ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=2^2-2\cdot \frac12=3 $$

より，

$$ \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha} =\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta} =\frac{3}{1/2} =6 $$

だから，

$$ uv=\frac12-6+\frac{1}{1/2}=\frac12-6+2=-\frac72 $$

となる。

したがって，$u,v$ を解にもつ2次方程式は

$$ x^2-(u+v)x+uv=0 $$

すなわち

$$ x^2+2x-\frac72=0 $$

である。両辺を2倍して

$$ 2x^2+4x-7=0 $$

を得る。よって

$$ [ア]=4,\qquad [イ]=-7 $$

である。

次に，3次方程式 $2x^3+ax+b=0$ が $u,v$ を解にもつとする。残る1つの解を $w$ とすると，解と係数の関係より

$$ u+v+w=0 $$

である。すでに $u+v=-2$ だから，

$$ w=2 $$

となる。

さらに，3次方程式 $2x^3+ax+b=0$ に対して，解の積和は

$$ uv+vw+wu=\frac{a}{2} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} uv+vw+wu &=-\frac72+2(u+v) \\ &=-\frac72+2(-2) \\ &=-\frac72-4 \\ &=-\frac{15}{2} \end{aligned} $$

よって

$$ \frac{a}{2}=-\frac{15}{2} $$

より

$$ a=-15 $$

である。

また，解の積について

$$ uvw=-\frac{b}{2} $$

であり，

$$ uvw=\left(-\frac72\right)\cdot 2=-7 $$

だから，

$$ -7=-\frac{b}{2} $$

より

$$ b=14 $$

となる。

したがって，

$$ [ウ]=-15,\qquad [エ]=14,\qquad [オ]=2 $$

である。

解説

この問題の要点は，$\alpha,\beta$ 自体を具体的に求める必要がないことである。$\alpha+\beta,\alpha\beta$ が分かれば，

$$ \alpha-\frac1\alpha,\quad \beta-\frac1\beta $$

の和と積は対称式として処理できる。

また，3次方程式では $x^2$ の項がないため，3解の和が $0$ になる。この条件から残る1解が即座に決まり，その後は解と係数の関係で $a,b$ を求めればよい。

答え

$$ [ア]=4,\quad [イ]=-7,\quad [ウ]=-15,\quad [エ]=14,\quad [オ]=2 $$

したがって，

$$ \alpha-\frac1\alpha,\ \beta-\frac1\beta $$

を解にもつ2次方程式は

$$ 2x^2+4x-7=0 $$

であり，3次方程式は

$$ 2x^3-15x+14=0 $$

残る1つの実数解は

$$ x=2 $$

である。