解説

方針・初手

条件 $P(1)=-1,\ P(-1)=-6a-3$ から、まず $b,c$ を $a$ で表す。

すると $P(x)$ が因数分解でき、$a$ の値によらない実数解が見える。残りの2解は二次方程式の判別式で調べればよい。

解法1

**(i)**

$P(1)=-1$ より

$$ 1-(a+2)+b+c=-1 $$

したがって

$$ b+c=a $$

また、$P(-1)=-6a-3$ より

$$ -1-(a+2)-b+c=-6a-3 $$

よって

$$ c-b=-5a $$

以上より

$$ \begin{aligned} b+c&=a,\\ -b+c&=-5a \end{aligned} $$

を解くと、

$$ 2c=-4a $$

となるから

$$ c=-2a $$

さらに

$$ b=a-c=a-(-2a)=3a $$

である。

したがって、

$$ b=3a,\qquad c=-2a $$

である。

**(ii)**

$P(x)$ を $x^2-1=(x-1)(x+1)$ で割った余りを $rx+s$ とおく。

すると、$x=1,-1$ を代入して

$$ \begin{aligned} r+s&=P(1)=-1,\\ -r+s&=P(-1)=-6a-3 \end{aligned} $$

を得る。

2式を加えると

$$ 2s=-6a-4 $$

より

$$ s=-3a-2 $$

また、

$$ r=-1-s=-1-(-3a-2)=3a+1 $$

である。

よって余りは

$$ (3a+1)x-3a-2 $$

である。

**(iii)**

（i） より

$$ P(x)=x^3-(a+2)x^2+3ax-2a $$

である。

ここで

$$ P(2)=8-4(a+2)+6a-2a=0 $$

となるから、方程式 $P(x)=0$ は $a$ の値によらず実数解

$$ x=2 $$

をもつ。

さらに

$$ P(x)=(x-2)(x^2-ax+a) $$

と因数分解できる。

したがって、虚数解をもつかどうかは二次方程式

$$ x^2-ax+a=0 $$

を調べればよい。

この二次方程式の判別式は

$$ D=a^2-4a=a(a-4) $$

であるから、虚数解をもつ条件は

$$ D<0 $$

すなわち

$$ a(a-4)<0 $$

である。よって

$$ 0<a<4 $$

である。

このとき、二次方程式の解は

$$ x=\frac{a\pm \sqrt{a^2-4a}}{2} =\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{4a-a^2}}{2}i $$

であるから、虚数解の実部は

$$ \frac{a}{2} $$

である。

これが整数となるには、$0<a<4$ より

$$ 0<\frac{a}{2}<2 $$

であるから、

$$ \frac{a}{2}=1 $$

しかない。したがって

$$ a=2 $$

である。

このとき二次方程式は

$$ x^2-2x+2=0 $$

となり、

$$ x=1\pm i $$

を得る。したがって虚部は

$$ 1 $$

である。

解説

この問題の要点は、与えられた $P(1),P(-1)$ の条件から $b,c$ を決めることである。

それにより $P(x)$ が

$$ (x-2)(x^2-ax+a) $$

と因数分解でき、三次方程式の問題が二次方程式の判別式の問題に落ちる。

「$a$ によらない実数解」を先に見つけ、その後で残り2解の性質を調べる流れが自然である。

答え

**(i)**

$$ [\text{ア}]=3a,\qquad [\text{イ}]=-2a $$

**(ii)**

$$ [\text{ウ}]=(3a+1)x-3a-2 $$

**(iii)**

$$ [\text{エ}]=2,\qquad [\text{オ}]=0<a<4,\qquad [\text{カ}]=2,\qquad [\text{キ}]=1 $$