解説

方針・初手

3次式と2次式の共通解を調べるには、3次式を2次式で割った余りを見るのが最短である。

なお、2次方程式 $x^2-2ax-b=0$ の判別式は

$$ 4(a^2+b)>0 $$

であるから、解は常に相異なる2実根である。したがって、そのうち「ちょうど1つだけ」が3次方程式の解になる条件を調べればよい。

解法1

2次式を

$$ Q(x)=x^2-2ax-b $$

3次式を

$$ P(x)=x^3-(2a^2+b)x-4ab $$

とおく。

このとき $P(x)$ を $Q(x)$ で整理すると、

$$ \begin{aligned} P(x) &=(x+2a)(x^2-2ax-b)+2a(ax-b) \\ &=(x+2a)Q(x)+2a(ax-b) \end{aligned} $$

となる。

よって、$Q(r)=0$ を満たす数 $r$ に対しては

$$ P(r)=2a(ar-b) $$

が成り立つ。

いま、2次方程式の2つの解のうちちょうど1つだけが3次方程式の解であるとし、その共通解を $r$ とする。

まず $a=0$ の場合を調べる。このとき

$$ Q(x)=x^2-b,\qquad P(x)=x^3-bx=x(x^2-b)=xQ(x) $$

となるので、$Q(x)=0$ の2つの解はどちらも $P(x)=0$ を満たす。これは「1つだけ共通解をもつ」という条件に反する。したがって

$$ a\ne0 $$

である。

そこで $P(r)=0$ を用いると、

$$ 2a(ar-b)=0 $$

より

$$ r=\frac{b}{a} $$

を得る。これを $Q(r)=0$ に代入すると、

$$ \left(\frac{b}{a}\right)^2-2a\cdot\frac{b}{a}-b=0 $$

すなわち

$$ \frac{b^2}{a^2}-3b=0 $$

であるから、

$$ b(b-3a^2)=0 $$

となる。仮定より $b>0$ なので、

$$ b=3a^2 $$

が必要である。

次に、これが十分であることを示す。

$b=3a^2$ とすると、$b>0$ より $a\ne0$ であり、

$$ Q(x)=x^2-2ax-3a^2=(x-3a)(x+a) $$

となるから、2次方程式の解は $3a,-a$ である。

一方、3次式は

$$ P(x)=x^3-5a^2x-12a^3 $$

となるので、

$$ P(3a)=27a^3-15a^3-12a^3=0 $$

より $3a$ は3次方程式の解である。

しかし

$$ P(-a)=-a^3+5a^3-12a^3=-8a^3\ne0 $$

であるから、$-a$ は3次方程式の解ではない。

したがって、$b=3a^2$ のとき、2次方程式の2つの解のうちちょうど1つだけが3次方程式の解になる。

以上より、求める必要十分条件は

$$ b=3a^2 $$

であり、そのときの共通解は

$$ x=3a $$

である。

解説

共通解の問題では、片方の式で割った余りを使うと一気に条件が絞れる。本問では $Q(r)=0$ を満たす $r$ に対して $P(r)=2a(ar-b)$ となるため、共通解はほとんど直ちに $r=b/a$ と分かる。

また、$a=0$ の場合は別扱いが必要である。このときは $P(x)=xQ(x)$ となり、2次方程式の2解が両方とも3次方程式の解になるので、「1つだけ共通」という条件を満たさない。

答え

必要十分条件は

$$ b=3a^2 $$

である。

このときの共通解は

$$ x=3a $$

である。