解説

方針・初手

最初の式は展開すると $x^2+y^2+z^2$ と $xy+yz+zx$ で表せる。そこから $xy+yz+zx$ を求め、さらに $(x+y+z)^2$ を用いて $x+y+z$ を決定する。

その後、$x,y,z$ を3解にもつ3次方程式

$$ (t-x)(t-y)(t-z)=0 $$

を作れば、$x<y<z$ を満たす解が求まる。

解法1

最初の式を展開すると、

$$ \begin{aligned} &(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \\ &=(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2) \\ &=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx) \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ -2(xy+yz+zx)+2(x^2+y^2+z^2)=26 $$

となる。

ここで $x^2+y^2+z^2=42$ より、

$$ -2(xy+yz+zx)+2\cdot 42=26 $$

すなわち、

$$ -2(xy+yz+zx)+84=26 $$

であるから、

$$ xy+yz+zx=29 $$

となる。

次に、

$$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) $$

であるから、

$$ (x+y+z)^2=42+2\cdot 29=100 $$

を得る。しかも $x>0,\ y>0,\ z>0$ なので $x+y+z>0$ であり、

$$ x+y+z=10 $$

である。

よって、$x,y,z$ を解にもつ3次方程式は

$$ \begin{aligned} (t-x)(t-y)(t-z) &=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz \\ &=t^3-10t^2+29t-20 \end{aligned} $$

となる。

これを因数分解すると、

$$ t^3-10t^2+29t-20=(t-1)(t-4)(t-5) $$

である。したがって、$x,y,z$ は $1,4,5$ の並べ替えである。

条件 $x<y<z$ より、

$$ (x,y,z)=(1,4,5) $$

となる。

解説

この問題の本質は、対称式

$$ x+y+z,\quad xy+yz+zx,\quad xyz $$

を順に求めることである。

3つの数を直接求めようとすると重いが、まず差の2乗和を展開して $xy+yz+zx$ を出し、次に $(x+y+z)^2$ に進めば、最後は解と係数の関係で一気に処理できる。典型問題なので、$x,y,z$ を根にもつ3次方程式を作る流れは確実に押さえたい。

答え

$$ [1]=-2,\quad [2]=2,\quad [3]=29,\quad [4]=2,\quad [5]=10 $$

$$ [6]=t^3-10t^2+29t-20,\quad [7]=(1,4,5) $$