解説

方針・初手

$$ u=\sqrt{9+2\sqrt{17}},\qquad v=\sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

とおくと，$u^2+v^2=18$，$uv=\sqrt{13}$ となる。 したがって

$$ \alpha=\sqrt{13}+u+v $$

から，まず $u+v$ を用いて根号を消去できる。

また，(1) で得られる4次方程式は

$$ (x^2-5)^2-52(x+1)^2=0 $$

という形に直せるので，(2) ではこれを2つの2次方程式に分けて解き，(3) では各解の差を直接比較する。

解法1

**(1)**

$$ u=\sqrt{9+2\sqrt{17}},\qquad v=\sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

とおくと，

$$ u^2+v^2=(9+2\sqrt{17})+(9-2\sqrt{17})=18 $$

であり，

$$ uv=\sqrt{(9+2\sqrt{17})(9-2\sqrt{17})} =\sqrt{81-68} =\sqrt{13} $$

である。

$\alpha=\sqrt{13}+u+v$ であるから，

$$ \alpha-\sqrt{13}=u+v $$

であり，両辺を2乗して

$$ (\alpha-\sqrt{13})^2=(u+v)^2=u^2+2uv+v^2=18+2\sqrt{13} $$

を得る。よって

$$ \alpha^2-2\sqrt{13},\alpha+13=18+2\sqrt{13} $$

すなわち

$$ \alpha^2-5=2\sqrt{13}(\alpha+1) $$

である。さらに両辺を2乗すると

$$ (\alpha^2-5)^2=52(\alpha+1)^2 $$

となるから，$\alpha$ は

$$ (x^2-5)^2-52(x+1)^2=0 $$

を満たす。展開して

$$ x^4-62x^2-104x-27=0 $$

を得る。

したがって，求める多項式は

$$ f(x)=x^4-62x^2-104x-27 $$

である。

**(2)**

(1) で求めた

$$ f(x)=x^4-62x^2-104x-27 $$

について，

$$ f(x)=(x^2-5)^2-52(x+1)^2 $$

である。したがって実数 $x$ に対して

$$ f(x)=0 \iff (x^2-5)^2=52(x+1)^2 \iff x^2-5=\pm 2\sqrt{13}(x+1) $$

が成り立つ。

**(i)**

$x^2-5=2\sqrt{13}(x+1)$ のとき

$$ x^2-2\sqrt{13},x-(2\sqrt{13}+5)=0 $$

となる。この判別式は

$$ \begin{aligned} \Delta &=(2\sqrt{13})^2+4(2\sqrt{13}+5) \\ &=52+8\sqrt{13}+20 \\ &=72+8\sqrt{13} \\ &=4(18+2\sqrt{13}) \\ &=4(u+v)^2 \end{aligned} $$

である。よって

$$ x=\frac{2\sqrt{13}\pm 2(u+v)}{2} =\sqrt{13}\pm(u+v) $$

すなわち

$$ x=\sqrt{13}+u+v,\qquad x=\sqrt{13}-u-v $$

である。

**(ii)**

$x^2-5=-2\sqrt{13}(x+1)$ のとき

$$ x^2+2\sqrt{13},x+(2\sqrt{13}-5)=0 $$

となる。この判別式は

$$ \begin{aligned} \Delta &=(2\sqrt{13})^2-4(2\sqrt{13}-5) \\ &=52-8\sqrt{13}+20 \\ &=72-8\sqrt{13} \\ &=4(18-2\sqrt{13}) \\ &=4(u-v)^2 \end{aligned} $$

である。よって

$$ x=\frac{-2\sqrt{13}\pm 2(u-v)}{2} =-\sqrt{13}\pm(u-v) $$

すなわち

$$ x=-\sqrt{13}+u-v,\qquad x=-\sqrt{13}-u+v $$

である。

以上より，8つの実数

$$ \pm\sqrt{13}\pm\sqrt{9+2\sqrt{17}}\pm\sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

のうち，$f(x)=0$ の解となるのは

$$ \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}, $$

$$ \sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}, $$

$$ -\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}, $$

$$ -\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

の4つである。

4次方程式 $f(x)=0$ は高々4個しか解をもたないので，残りの4つ

$$ \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}, $$

$$ \sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}, $$

$$ -\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}, $$

$$ -\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}} $$

は解ではない。

**(3)**

(2) で得た4つの解を

$$ \begin{aligned} x_1&=\sqrt{13}+u+v,\\ x_2&=-\sqrt{13}+u-v,\\ x_3&=\sqrt{13}-u-v,\\ x_4&=-\sqrt{13}-u+v \end{aligned} $$

とおく。

まず

$$ u^2=9+2\sqrt{17}>13 $$

であるから $u>\sqrt{13}$ であり，

$$ v^2=9-2\sqrt{17}<13 $$

であるから $v<\sqrt{13}$ である。

そこで差をとると，

$$ x_1-x_2=2\sqrt{13}+2v>0, $$

$$ x_2-x_3=2u-2\sqrt{13}>0, $$

$$ x_3-x_4=2\sqrt{13}-2v>0 $$

となる。したがって

$$ x_1>x_2>x_3>x_4 $$

である。

よって，大きい順に並べると

$$ \begin{aligned} \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}} &> -\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ &> \sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ &> -\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は，入れ子の根号をそのまま扱わず，

$$

u=\sqrt{9+2\sqrt{17}},\qquad v=\sqrt{9-2\sqrt{17}}

$$

とおいて

$$

u^2+v^2=18,\qquad uv=\sqrt{13}

$$

という対称式に落とすことである。すると $\alpha=\sqrt{13}+u+v$ から

$$

\alpha^2-5=2\sqrt{13}(\alpha+1)

$$

が得られ，さらに2乗して整数係数の4次方程式にできる。

また，(2) では4次式をそのまま解くのではなく

$$

(x^2-5)^2=52(x+1)^2

$$

と見て，

**(i)**

$x^2-5=2\sqrt{13}(x+1)$

**(ii)**

$x^2-5=-2\sqrt{13}(x+1)$

の2つに分けるのが本質である。これにより，8個の符号の組合せのうち，どれが実際に根になるかが明確になる。

答え

**(1)**

$$

f(x)=x^4-62x^2-104x-27

$$

**(2)**

$f(x)=0$ の解となるのは

$$

\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}},

$$

$$

\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}},

$$

$$

-\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}},

$$

$$

-\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}

$$

の4つであり，残りの4つは解ではない。

**(3)**

大きい順に

$$ \begin{aligned} \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}} &> -\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ &> \sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}} \\ &> -\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}} \end{aligned} $$

である。