解説

方針・初手

（1） は、有理数解を既約分数の形で表し、方程式に代入して分母に注目する。分母が $1$ でなければならないことを示せば、解は整数であることが分かる。

（2） は、（1） の結果を用いる。有理数解があると仮定すると整数解でなければならないので、候補を有限個に絞って矛盾を出す。

解法1

**(1)**

方程式

$$ x^3+ax^2+bx+c=0 $$

が有理数の解をもつとする。その解を $r$ とおく。

まず $r=0$ なら、これは整数であるから結論は成り立つ。

以下、$r\neq 0$ とする。このとき $r$ は有理数であるから、

$$ r=\pm \frac{n}{m} $$

と表せる。ただし、$m,n$ は正の整数で、$\gcd(m,n)=1$ とする。

これを方程式に代入すると、

$$ \left(\pm \frac{n}{m}\right)^3 +a\left(\pm \frac{n}{m}\right)^2 +b\left(\pm \frac{n}{m}\right) +c=0 $$

である。両辺に $m^3$ をかけると、

$$ \pm n^3+an^2m\pm bnm^2+cm^3=0 $$

となる。したがって、

$$ \pm n^3=-m\left(an^2\pm bnm+cm^2\right) $$

であるから、$m$ は $n^3$ を割る。

ところが $\gcd(m,n)=1$ なので、$m$ と $n^3$ も互いに素である。よって、$m$ が $n^3$ を割るためには

$$ m=1 $$

でなければならない。

したがって、

$$ r=\pm n $$

となり、$r$ は整数である。

以上より、方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ が有理数の解をもつならば、その解は整数である。

**(2)**

方程式

$$ x^3+2x^2+2=0 $$

が有理数の解をもつと仮定する。

この方程式は係数がすべて整数で、最高次の係数が $1$ であるから、（1） よりその有理数解は整数でなければならない。そこで、その整数解を $r$ とする。

$r$ を代入すると、

$$ r^3+2r^2+2=0 $$

である。これを変形すると、

$$ r^3+2r^2=-2 $$

すなわち

$$ r^2(r+2)=-2 $$

である。左辺は $r$ で割り切れるから、右辺 $-2$ も $r$ で割り切れる。よって $r$ は $2$ の約数であり、

$$ r=\pm 1,\ \pm 2 $$

に限られる。

実際に代入すると、

$$ 1^3+2\cdot 1^2+2=5 $$

$$ (-1)^3+2\cdot (-1)^2+2=3 $$

$$ 2^3+2\cdot 2^2+2=18 $$

$$ (-2)^3+2\cdot (-2)^2+2=2 $$

となり、いずれも $0$ にならない。

したがって整数解は存在しない。これは有理数解が存在するとした仮定に反する。

よって、方程式 $x^3+2x^2+2=0$ は有理数の解をもたない。

解説

（1） は、いわゆる有理数解に関する基本事実であり、既約分数で表したときに分母に着目するのが本筋である。代入後に「分母 $m$ が分子側の冪を割る」ことを導き、既約性から $m=1$ を結論する。

（2） は、その結果をそのまま使う問題である。有理数解があるなら整数解であるから、候補は大きく絞られる。さらに今回は $r^2(r+2)=-2$ と変形すると、$r$ が $2$ の約数であることがすぐに分かるので、矛盾が出しやすい。

答え

**(1)**

方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ が有理数解をもつならば、その解は整数である。

**(2)**

方程式 $x^3+2x^2+2=0$ は有理数解をもたない。