解説

方針・初手

$f(x)=x^2+ax+b$ の根を $\alpha,\beta$ とする。

条件 (イ) の $f(x)\mid f(x^3)$ を根で見るのが自然である。実際、$f(\alpha)=f(\beta)=0$ なので、$f(x)\mid f(x^3)$ ならば

$$ f(\alpha^3)=0,\qquad f(\beta^3)=0 $$

が成り立つ。したがって $\alpha^3,\beta^3$ もまた $f$ の根であり、

$$ \alpha^3,\beta^3\in{\alpha,\beta} $$

となる。つまり、根の集合が写像 $z\mapsto z^3$ で閉じていることを使って場合分けすればよい。

解法1

$f(x)$ を

$$ f(x)=(x-\alpha)(x-\beta) $$

とおく。

条件 (イ) より、先に述べたように

$$ \alpha^3,\beta^3\in{\alpha,\beta} $$

が必要である。

逆に、$\alpha,\beta$ が相異なるときにこの条件が成り立てば、$f(x^3)$ は $x=\alpha,\beta$ を根にもつから $f(x)\mid f(x^3)$ が従う。したがって、あとはこの条件を満たす根の組をすべて求めればよい。

（i） 重解の場合

まず $\alpha=\beta=r$ とする。

このとき $r^3\in{r}$ なので

$$ r^3=r $$

であり、

$$ r(r-1)(r+1)=0 $$

より

$$ r=0,\ 1,\ -1 $$

である。したがって

$$ f(x)=x^2,\ (x-1)^2,\ (x+1)^2 $$

しかないが、いずれも係数は実数であり、条件 (ロ) に反する。

よって重解の場合は不適である。

（ii） 異なる2根をもつ場合

このとき、各根の像 $\alpha^3,\beta^3$ は $\alpha,\beta$ のいずれかであるから、次の3通りに分かれる。

（1） $\alpha,\beta$ がともに不動点である場合

$$ \alpha^3=\alpha,\qquad \beta^3=\beta $$

より

$$ \alpha,\beta\in{0,\pm1} $$

である。したがって $f(x)$ の係数は実数となり、条件 (ロ) に反する。

よって不適である。

（2） 一方だけが不動点である場合

対称性より

$$ \alpha^3=\alpha,\qquad \beta^3=\alpha $$

としてよい。

まず $\alpha^3=\alpha$ より

$$ \alpha\in{0,\pm1} $$

である。

**$\alpha=0$** のとき、$\beta^3=0$ から $\beta=0$ となり、$\alpha\neq\beta$ に反する。

したがって $\alpha=\pm1$ である。

**$\alpha=1$** のとき、$\beta^3=1,\ \beta\neq1$ だから

$$ \beta=\omega,\ \omega^2 $$

となる。ただし $\omega$ は $1$ でない $3$ 乗根

$$ \omega=e^{2\pi i/3} $$

である。

このとき

$$ f(x)=(x-1)(x-\omega),\quad (x-1)(x-\omega^2) $$

を得る。

**$\alpha=-1$** のとき、$\beta^3=-1,\ \beta\neq-1$ だから

$$ \beta=-\omega,\ -\omega^2 $$

となる。

このとき

$$ f(x)=(x+1)(x+\omega),\quad (x+1)(x+\omega^2) $$

を得る。

（3） 2つの根が入れ替わる場合

$$ \alpha^3=\beta,\qquad \beta^3=\alpha $$

とする。

このとき

$$ \alpha^9=(\alpha^3)^3=\beta^3=\alpha $$

より

$$ \alpha(\alpha^8-1)=0 $$

となる。

$\alpha=0$ なら $\beta=\alpha^3=0$ となって $\alpha\neq\beta$ に反するから、

$$ \alpha^8=1 $$

である。すなわち $\alpha$ は $8$ 乗根であり、$\beta=\alpha^3$ である。

ここで $\alpha=\pm1$ なら $\beta=\alpha$ となってしまうので除く。すると候補は

$$ \alpha\in\left\{\pm i,\ e^{\pi i/4},\ e^{3\pi i/4},\ e^{5\pi i/4},\ e^{7\pi i/4}\right\} $$

である。

これから得られる根の組は、順序を除いて

$$ {i,-i},\ \left\{e^{\pi i/4},e^{3\pi i/4}\right\},\ \left\{e^{5\pi i/4},e^{7\pi i/4}\right\} $$

の3通りである。

このうち

$$ (x-i)(x+i)=x^2+1 $$

は係数が実数なので条件 (ロ) に反する。

したがって残るのは

$$ f(x)=\left(x-e^{\pi i/4}\right)\left(x-e^{3\pi i/4}\right),\quad \left(x-e^{5\pi i/4}\right)\left(x-e^{7\pi i/4}\right) $$

である。

条件の確認

以上で得た6個は、いずれも根の集合が $z\mapsto z^3$ で閉じている。

例えば $(x-1)(x-\omega)$ なら

$$ 1^3=1,\qquad \omega^3=1 $$

であり、確かに各根の3乗は再び根である。ほかも同様であるから、いずれも $f(x)\mid f(x^3)$ を満たす。

また、どれも係数 $a,b$ の少なくとも一方が実数でないので、条件 (ロ) も満たす。

解説

この問題の本質は、整式の割り切りを「根がどこへ写るか」に読み替えることである。

$f(x)\mid f(x^3)$ という条件は、$f$ の根 $\alpha$ に対して $\alpha^3$ も再び $f$ の根であることを意味する。2次式なので根は高々2個しかなく、結局「2点集合が $z\mapsto z^3$ でどう動くか」を全部調べれば尽きる。

重解、両方固定、一方のみ固定、相互に入れ替わる、の4種類に整理すると漏れなく処理できる。最後に条件 (ロ) により、係数が実数になってしまうものを除けばよい。

答え

求める2次式は次の6個である。

$$ (x-1)(x-\omega),\quad (x-1)(x-\omega^2),\quad (x+1)(x+\omega),\quad (x+1)(x+\omega^2), $$

$$ \left(x-e^{\pi i/4}\right)\left(x-e^{3\pi i/4}\right),\quad \left(x-e^{5\pi i/4}\right)\left(x-e^{7\pi i/4}\right), $$

ただし

$$ \omega=e^{2\pi i/3} $$

である。

展開すると

$$ x^2+\omega^2x+\omega,\quad x^2+\omega x+\omega^2,\quad x^2-\omega^2x+\omega,\quad x^2-\omega x+\omega^2, $$

$$ x^2-i\sqrt2,x-1,\quad x^2+i\sqrt2,x-1 $$

である。