解説

方針・初手

係数が実数であり，$-1+\sqrt{2}i$ が解の1つであるから，共役な複素数 $-1-\sqrt{2}i$ も解である。したがって，方程式①の3つの解を

$$ -1+\sqrt{2}i,\quad -1-\sqrt{2}i,\quad \alpha $$

とおける。ここで $\alpha$ は実数解である。あとは解と係数の関係を用いて $b,c,\alpha$ を求め，条件を順に処理すればよい。

解法1

方程式①を

$$ x^3+ax^2+bx+c=0 $$

とする。その3つの解を

$$ \alpha,\quad -1+\sqrt{2}i,\quad -1-\sqrt{2}i $$

とおく。

まず，共役な2解の和と積は

$$ (-1+\sqrt{2}i)+(-1-\sqrt{2}i)=-2 $$

$$ (-1+\sqrt{2}i)(-1-\sqrt{2}i)=(-1)^2+(\sqrt{2})^2=3 $$

である。

**(1)**

$b,c$ を $a$ を用いて表す。

解と係数の関係より，3解の和は $-a$ であるから，

$$ \alpha+(-2)=-a $$

となる。よって，

$$ \alpha=2-a $$

である。

次に，2つずつの積の和は $b$ であるから，

$$ b=3+\alpha{(-1+\sqrt{2}i)+(-1-\sqrt{2}i)} =3-2\alpha $$

である。ここに $\alpha=2-a$ を代入すると，

$$ b=3-2(2-a)=2a-1 $$

を得る。

また，3解の積は $-c$ であるから，

$$ \alpha\cdot 3=-c $$

すなわち，

$$ c=-3\alpha=-3(2-a)=3a-6 $$

である。

したがって，

$$ b=2a-1,\qquad c=3a-6 $$

となる。

（2） 方程式①の実数解 $\alpha$ を $a$ を用いて表す。

先に求めた通り，

$$ \alpha=2-a $$

である。

（3） 方程式①の実数解が，方程式 $x^2+bx-b-1=0$ の解でもあるときの $a$ を求める。

$\alpha$ は $x^2+bx-b-1=0$ の解でもあるから，

$$ \alpha^2+b\alpha-b-1=0 $$

を満たす。ここに

$$ \alpha=2-a,\qquad b=2a-1 $$

を代入する。

すると，

$$ (2-a)^2+(2a-1)(2-a)-(2a-1)-1=0 $$

である。整理すると，

$$ a^2-4a+4+(-2a^2+5a-2)-2a=0 $$

$$ -a^2-a+2=0 $$

よって，

$$ a^2+a-2=0 $$

$$ (a+2)(a-1)=0 $$

となる。条件 $a>0$ より，

$$ a=1 $$

である。

**(4)**

$a=1$ のとき，$\alpha^4+\beta^4+\gamma^4$ を求める。

$a=1$ のとき，

$$ \alpha=2-a=1 $$

であり，3つの解は

$$ 1,\quad -1+\sqrt{2}i,\quad -1-\sqrt{2}i $$

である。

ここで

$$ (-1+\sqrt{2}i)^2=1-2-2\sqrt{2}i=-1-2\sqrt{2}i $$

したがって，

$$ (-1+\sqrt{2}i)^4=(-1-2\sqrt{2}i)^2=1-8+4\sqrt{2}i=-7+4\sqrt{2}i $$

同様に，

$$ (-1-\sqrt{2}i)^4=-7-4\sqrt{2}i $$

である。よって，

$$ \alpha^4+\beta^4+\gamma^4 =1^4+(-7+4\sqrt{2}i)+(-7-4\sqrt{2}i) =1-14 =-13 $$

となる。

解説

この問題の要点は，実係数多項式では虚数解が共役な組で現れることである。これにより複素数の計算を直接進めるよりも，まず共役な2解の和と積を求めてから解と係数の関係を使うのが最も自然である。

（3） では，実数解 $\alpha$ を $a$ で表したあとに，別の2次方程式にも代入することで $a$ の条件式を作る流れになる。ここで先に （1），（2） の結果をまとめて使うのが典型的な処理である。

答え

**(1)**

$$ b=2a-1,\qquad c=3a-6 $$

**(2)**

$$ \alpha=2-a $$

**(3)**

$$ a=1 $$

**(4)**

$$ \alpha^4+\beta^4+\gamma^4=-13 $$