解説

方針・初手

$f(x)=x^3+ax^2+bx+23$ は首項係数が $1$ の3次式であるから，根を $r_1,r_2,r_3$ とすると，根と係数の関係

$$ r_1+r_2+r_3=-a,\qquad r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1=b,\qquad r_1r_2r_3=-23 $$

が使える。

また，（2） では

$$ \int_0^t f(x),dx=\frac{t^4}{4}+\frac{a}{3}t^3+\frac{b}{2}t^2+23t $$

を用いて $a,b$ についての連立方程式を立てればよい。

解法1

**(1)**

$f(x)=0$ が複素数解

$$ \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) $$

をもつ。$a,b$ は実数であるから，共役複素数

$$ \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i) $$

も根である。

残りの実数解を $r$ とすると，3つの根は

$$ \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\quad \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i),\quad r $$

である。

まず積を用いると，

$$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)\right)r=-23 $$

であり，

$$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2(1-i^2)r=\frac12\cdot 2,r=r $$

より

$$ r=-23 $$

となる。したがって実数解は $-23$ である。

次に和を用いると，

$$ \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)-23=\sqrt{2}-23 $$

であるから，

$$ -a=\sqrt{2}-23 $$

より

$$ a=23-\sqrt{2} $$

である。

さらに，2つずつの積の和は

$$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)\right) -23\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)\right) $$

であり，

$$ 1-23\sqrt{2} $$

となるから，

$$ b=1-23\sqrt{2} $$

である。

**(2)**

条件より

$$ \int_0^1 f(x),dx=-44 $$

だから，

$$ \frac14+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+23=-44 $$

すなわち

$$ \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=-\frac{269}{4} $$

である。

また，

$$ \int_0^2 f(x),dx=-79 $$

だから，

$$ \frac{2^4}{4}+\frac{a}{3}\cdot 2^3+\frac{b}{2}\cdot 2^2+23\cdot 2=-79 $$

より

$$ 4+\frac{8a}{3}+2b+46=-79 $$

すなわち

$$ \frac{8a}{3}+2b=-129 $$

である。

この2式を整理すると，

$$ \begin{aligned} 4a+6b&=-807,\\ 8a+6b&=-387 \end{aligned} $$

となるので，引き算して

$$ 4a=420 $$

より

$$ a=105 $$

である。これを

$$ 8a+6b=-387 $$

に代入すると，

$$ 840+6b=-387 $$

より

$$ 6b=-1227 $$

したがって

$$ b=-\frac{409}{2} $$

である。

**(3)**

$f(x)=0$ が3つの異なる整数解 $\alpha,\beta,\gamma$ をもつとする。

根の積は

$$ \alpha\beta\gamma=-23 $$

である。$23$ は素数であるから，絶対値の組合せは $1,1,23$ しかない。さらに3つの根は異なる整数であるから，$\pm1,\pm23$ のうち異なる3つで積が $-23$ となるものを考えればよい。

$(-1)\cdot 1\cdot 23=-23$ であり，これが条件を満たす唯一の組である。したがって

$$ \alpha=-1,\qquad \beta=1,\qquad \gamma=23 $$

である。

このとき根の和は

$$ -1+1+23=23 $$

より

$$ -a=23 $$

したがって

$$ a=-23 $$

である。

また，2つずつの積の和は

$$ (-1)\cdot 1+1\cdot 23+23\cdot(-1)=-1+23-23=-1 $$

より

$$ b=-1 $$

である。

解説

この問題の中心は，3次方程式の根と係数の関係である。

（1） では，係数が実数である以上，虚数解は必ず共役なものと対になることが重要である。そこから残り1つの実数解，さらに $a,b$ が一気に決まる。

（2） では，まず積分を正確に式に直し，$a,b$ の連立方程式に落とすだけである。途中で分数が出るが，慌てず整理すればよい。

（3） では，定数項が $23$ であることから根の積が $-23$ と分かる。$23$ が素数なので，整数解の候補はごく少なく，総当たりに近い形で確定できる。

答え

**(1)**

$\text{ア}=-23,\quad \text{イ}=23-\sqrt{2},\quad \text{ウ}=1-23\sqrt{2}$

**(2)**

$\text{エ}=105,\quad \text{オ}=-\dfrac{409}{2}$

**(3)**

$\text{カ}=-1,\quad \text{キ}=1,\quad \text{ク}=23,\quad \text{ケ}=-23,\quad \text{コ}=-1$