解説

方針・初手

まず与えられた多項式

$$ P(\omega)=\omega^3+\omega^2-8\omega-12 $$

を因数分解する。

すると （1） の重解の判定や不等式の範囲がすぐ分かる。また （2）、（3） はそれぞれ

$$ u=2^{3t},\qquad u=\sqrt{3}\tan\theta $$

とおくことで、同じ形の3次方程式に帰着できる。

解法1

まず

$$ P(\omega)=\omega^3+\omega^2-8\omega-12 $$

について、有理数解を試すと

$$ P(3)=27+9-24-12=0 $$

より、$\omega-3$ を因数にもつ。

実際に割ると

$$ P(\omega)=(\omega-3)(\omega^2+4\omega+4) =(\omega-3)(\omega+2)^2 $$

である。

したがって、方程式

$$ P(\omega)=0 $$

の解は

$$ \omega=-2,\ 3 $$

であり、このうち $\omega=-2$ は2重解である。

よって （1） の

$$ \boxed{①=-2},\qquad \boxed{②=3} $$

である。

次に、

$$ P(\omega)+|P(\omega)|=0 $$

を考える。$y+|y|=0$ となるのは $y\leqq 0$ のときに限るから、

$$ P(\omega)\leqq 0 $$

を解けばよい。

ここで

$$ P(\omega)=(\omega-3)(\omega+2)^2 $$

であり、$(\omega+2)^2\geqq 0$ だから、符号は $\omega-3$ で決まる。したがって

$$ P(\omega)\leqq 0 \iff \omega\leqq 3 $$

である。

よって

$$ \boxed{③=\omega\leqq 3} $$

である。

次に （2） を解く。$u=2^{3t}$ とおくと $u>0$ であり、

$$ 2^{9t}-2^{6t}-2^{3t+3}+12=0 $$

は

$$ u^3-u^2-8u+12=0 $$

となる。

これを因数分解すると

$$ u^3-u^2-8u+12=(u-2)(u^2+u-6)=(u-2)^2(u+3) $$

である。

よって

$$ (u-2)^2(u+3)=0 $$

であり、$u>0$ より

$$ u=2 $$

である。

したがって

$$ 2^{3t}=2 $$

より

$$ 3t=1,\qquad t=\frac13 $$

となる。

よって

$$ \boxed{④=\frac13} $$

である。

最後に （3） を解く。$u=\sqrt{3}\tan\theta$ とおくと、$0<\theta<\frac{\pi}{2}$ より $u>0$ である。

このとき

$$ \tan\theta=\frac{u}{\sqrt{3}} $$

だから、

$$ 3\tan^3\theta+\sqrt{3}\tan^2\theta-8\tan\theta-4\sqrt{3}=0 $$

に代入して両辺に $\sqrt{3}$ をかけると

$$ u^3+u^2-8u-12=0 $$

すなわち

$$ P(u)=0 $$

となる。

すでに

$$ P(u)=(u-3)(u+2)^2 $$

であるから、$u>0$ より

$$ u=3 $$

である。

したがって

$$ \sqrt{3}\tan\theta=3 \iff \tan\theta=\sqrt{3} $$

となるので、

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{2} $$

より

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。

よって

$$ \boxed{⑤=\frac{\pi}{3}} $$

である。

解説

この問題の中心は、最初に

$$ P(\omega)=\omega^3+\omega^2-8\omega-12=(\omega-3)(\omega+2)^2 $$

と因数分解することである。

（1） では重解と符号の判定にそのまま使える。特に

$$ P(\omega)+|P(\omega)|=0 $$

は $P(\omega)\leqq 0$ と同値であることに気づくのが重要である。

（2）、（3） は見た目は別問題であるが、それぞれ

$$ u=2^{3t},\qquad u=\sqrt{3}\tan\theta $$

とおくことで、同じ3次方程式に帰着される。与えられた多項式を使い回す構成になっている点がこの問題の要点である。

答え

**(1)**

$$ ①=-2,\qquad ②=3,\qquad ③=\omega\leqq 3 $$

**(2)**

$$ ④=\frac13 $$

**(3)**

$$ ⑤=\frac{\pi}{3} $$