解説

方針・初手

有理数解 $\alpha$ を既約分数 $\alpha=\dfrac{p}{q}$（$\gcd(p,q)=1$）とおき，方程式に代入して整数の割り切りを調べる。

この方程式は最高次の係数が $1$ であるから，分母と分子に強い制約がかかる。まず （1） で $\alpha$ が整数であることを示し，その後 （2） で実際に候補をしぼって $m$ を求める。

解法1

**(1)**

$\alpha$ は整数であることを示す。

$\alpha$ は有理数解であるから，

$$ \alpha=\frac{p}{q} \qquad (p,q\in \mathbb{Z},\ \gcd(p,q)=1,\ q\neq 0) $$

と既約分数で表せる。

これを

$$ x^3+mx^2+(m+8)x+1=0 $$

に代入すると，

$$ \left(\frac{p}{q}\right)^3 +m\left(\frac{p}{q}\right)^2 +(m+8)\left(\frac{p}{q}\right) +1=0 $$

より，両辺に $q^3$ をかけて

$$ p^3+mp^2q+(m+8)pq^2+q^3=0 $$

を得る。

これを

$$ p\bigl(p^2+mpq+(m+8)q^2\bigr)=-q^3 $$

と見ると，左辺は $p$ の倍数であるから，$p\mid q^3$ である。

ところが $\gcd(p,q)=1$ なので，$p$ と $q^3$ も互いに素である。したがって

$$ p=\pm 1 $$

である。

同様に，

$$ q\bigl(mp^2+(m+8)pq+q^2\bigr)=-p^3 $$

と見れば，$q\mid p^3$ である。しかも $\gcd(p,q)=1$ だから，

$$ q=\pm 1 $$

となる。

よって

$$ \alpha=\frac{p}{q}\in \mathbb{Z} $$

である。以上で示せた。

**(2)**

$m$ を求める。

（1） より $\alpha$ は整数である。しかも $\alpha$ は

$$ x^3+mx^2+(m+8)x+1 $$

の整数解であるから，定数項 $1$ の約数でなければならない。したがって

$$ \alpha=\pm 1 $$

である。

まず $\alpha=1$ を代入すると，

$$ 1+m+(m+8)+1=0 $$

より

$$ 2m+10=0 $$

したがって

$$ m=-5 $$

である。

次に $\alpha=-1$ を代入すると，

$$ -1+m-(m+8)+1=-8\neq 0 $$

となり，不適である。

よって求める $m$ は

$$ m=-5 $$

である。

解説

この問題の要点は，「整数係数の首項係数 $1$ の多項式に有理数解があるとき，その解には非常に強い制約がある」という点にある。

既約分数 $\dfrac{p}{q}$ を代入して，$p\mid q^3$，$q\mid p^3$ を導けば，互いに素であることから $p,q$ はともに $\pm 1$ に限られる。これで有理数解が整数解に落ちる。

その後は定数項 $1$ に着目して整数解の候補を $\pm1$ にしぼれば，すぐに $m$ が決まる。

答え

**(1)**

$\alpha$ は整数である。

**(2)**

$$ m=-5 $$