解説

方針・初手

まず導関数を求めて極値を調べる。すると $f(x)$ の増減が分かり，$f(-p)$ と $f(p)$ の符号から $f(x)=0$ の実数解の個数が判定できる。

そのうえで，$x=\pm 2p$ における値も調べれば，各解がどの区間に入るかが分かる。

最後は $x=2p\cos\theta$ とおいて三倍角の公式

$$ \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta $$

を用いるのが自然である。

解法1

（1） 極値を求める。

$f(x)=x^3-3p^2x+q$ を微分すると，

$$ f'(x)=3x^2-3p^2=3(x-p)(x+p) $$

である。したがって停留点は

$$ x=-p,\ p $$

の2点である。

さらに，

$$ f''(x)=6x $$

より，

• $x=-p$ では $f''(-p)=-6p<0$ であるから極大をとる。
• $x=p$ では $f''(p)=6p>0$ であるから極小をとる。

そのときの値は

$$ f(-p)=(-p)^3-3p^2(-p)+q=2p^3+q $$

$$ f(p)=p^3-3p^3+q=q-2p^3 $$

である。

よって，$f(x)$ が極値をとる $x$ とその極値は，

• $x=-p$ で極大値 $2p^3+q$
• $x=p$ で極小値 $q-2p^3$

である。

（2） 方程式 $f(x)=0$ が相異なる3つの実数解をもつことを示す。

与えられた条件 $-2p^3<q<2p^3$ より，

$$ f(-p)=2p^3+q>0,\qquad f(p)=q-2p^3<0 $$

である。

また，$f(x)$ は3次関数であるから，

$$ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to \infty}f(x)=\infty $$

が成り立つ。

したがって連続性より，

• 区間 $(-\infty,-p)$ に少なくとも1つ解をもつ。
• 区間 $(-p,p)$ に少なくとも1つ解をもつ。
• 区間 $(p,\infty)$ に少なくとも1つ解をもつ。

しかもこれら3区間は互いに重ならないから，解は相異なる。

よって $f(x)=0$ は相異なる3つの実数解をもつ。

（3） 3つの解がすべて $-2p<x<2p$ をみたすことを示す。

まず，

$$ f(-2p)=(-2p)^3-3p^2(-2p)+q=-8p^3+6p^3+q=q-2p^3<0 $$

であり，先に見たように

$$ f(-p)=2p^3+q>0 $$

であるから，中間値の定理より $(-2p,-p)$ に1つ解をもつ。

また，

$$ f(-p)>0,\qquad f(p)<0 $$

より，$(-p,p)$ に1つ解をもつ。

さらに，

$$ f(p)=q-2p^3<0 $$

$$ f(2p)=(2p)^3-3p^2(2p)+q=8p^3-6p^3+q=q+2p^3>0 $$

であるから，$(p,2p)$ に1つ解をもつ。

以上より，3つの解はそれぞれ

$$ (-2p,-p),\quad (-p,p),\quad (p,2p) $$

に1つずつ存在する。したがって，3つの解はすべて

$$ -2p<x<2p $$

をみたす。

（4） 3つの解のうち1つを $2p\cos\theta$ と表したとき，他の2つの解を示す。

$f(2p\cos\theta)=0$ とすると，

$$ (2p\cos\theta)^3-3p^2(2p\cos\theta)+q=0 $$

すなわち，

$$ 8p^3\cos^3\theta-6p^3\cos\theta+q=0 $$

である。ここで三倍角の公式 $4\cos^3\theta-3\cos\theta=\cos 3\theta$ を用いると，

$$ 2p^3\cos 3\theta+q=0 $$

となる。よって，

$$ q=-2p^3\cos 3\theta $$

である。

ここで $\varphi$ を任意の実数として，

$$ f(2p\cos\varphi) =8p^3\cos^3\varphi-6p^3\cos\varphi+q =2p^3\cos 3\varphi+q $$

と変形できる。

いま

$$ \varphi=\theta+\frac{2\pi}{3} $$

とすると，

$$ \cos 3\varphi=\cos\left(3\theta+2\pi\right)=\cos 3\theta $$

であるから，

$$ f\left(2p\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\right) =2p^3\cos 3\theta+q=0 $$

となる。したがって，

$$ 2p\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right) $$

は解である。

同様に，

$$ \varphi=\theta+\frac{4\pi}{3} $$

とすると，

$$ \cos 3\varphi=\cos\left(3\theta+4\pi\right)=\cos 3\theta $$

より，

$$ f\left(2p\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)\right)=0 $$

となる。したがって，

$$ 2p\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right) $$

も解である。

以上より，1つの解が $2p\cos\theta$ と表されるなら，残りの2つも

$$ 2p\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right),\qquad 2p\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right) $$

と表される。

解説

この問題の核は，3次関数の標準形

$$ x^3-3p^2x+q $$

に対して，まず微分で極大・極小を押さえることである。極大値が正，極小値が負になるので，$x$ 軸と3回交わることが直ちに分かる。

また，解の範囲を絞るときは $x=\pm 2p,\ \pm p$ における値を調べるのが有効である。実際，3つの解が

$$ (-2p,-p),\quad (-p,p),\quad (p,2p) $$

に1つずつ入ることまで分かる。

最後の三角関数表示は，三倍角の公式にこの3次式がちょうど対応していることを利用したものであり，3次方程式の典型的な処理である。

答え

**(1)**

$x=-p$ で極大値 $2p^3+q$

$x=p$ で極小値 $q-2p^3$

**(2)**

$f(x)=0$ は相異なる3つの実数解をもつ。

**(3)**

その3つの解はすべて

$$ -2p<x<2p $$

をみたす。

**(4)**

3つの解のうち1つが $2p\cos\theta\ (0<\theta<\pi)$ ならば，他の2つの解は

$$ 2p\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right),\qquad 2p\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right) $$

である。