解説

方針・初手

係数が実数であること、また $x$ の係数が $0$ であることを活用する。

具体的には、解と係数の関係

$$ \alpha+\beta+\gamma=-a,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0,\qquad \alpha\beta\gamma=-b $$

を用いるのが基本である。

（3） では、3次関数

$$ f(x)=x^3+ax^2+b $$

の増減を調べるために導関数

$$ f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a) $$

を見るのが初手である。

解法1

**(1)**

$f(x)=x^3+ax^2+b$ とおく。

係数が実数なので、$1+\sqrt{2}i$ が解ならば、その共役複素数

$$ 1-\sqrt{2}i $$

も解である。

3つの解を

$$ 1+\sqrt{2}i,\quad 1-\sqrt{2}i,\quad r $$

とする。

解と係数の関係より

$$ (1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i)+r{(1+\sqrt{2}i)+(1-\sqrt{2}i)}=0 $$

であるから、

$$ 3+2r=0 $$

となり、

$$ r=-\frac{3}{2} $$

を得る。

したがって

$$ (1+\sqrt{2}i)+(1-\sqrt{2}i)-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} $$

より

$$ -a=\frac{1}{2},\qquad a=-\frac{1}{2}. $$

また、

$$ (1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i)\left(-\frac{3}{2}\right)=3\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{2} $$

だから

$$ -b=-\frac{9}{2},\qquad b=\frac{9}{2}. $$

よって

$$ a=-\frac{1}{2},\qquad b=\frac{9}{2} $$

である。

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**(2)**

$f(x)=x^3+ax^2+b$ は $1$ を解にもつので

$$ f(1)=1+a+b=0 $$

である。

また、2重解をもつので、$f(x)$ と $f'(x)$ は共通解をもつ。

$$ f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a) $$

より、2重解は

$$ x=0 \quad \text{または} \quad x=-\frac{2a}{3} $$

である。

ここで場合分けする。

**(i)**

$1$ 自身が2重解である場合

このとき

$$ f'(1)=0 $$

より

$$ 3+2a=0,\qquad a=-\frac{3}{2}. $$

さらに

$$ 1+a+b=0 $$

に代入して

$$ 1-\frac{3}{2}+b=0 $$

より

$$ b=\frac{1}{2}. $$

したがって

$$ (a,b)=\left(-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right) $$

である。

（ii） 2重解が $0$ である場合

このとき $0$ が2重解、$1$ が他の1つの解であるから

$$ f(x)=x^2(x-1)=x^3-x^2 $$

となる。

よって

$$ (a,b)=(-1,0) $$

である。

（iii） 2重解が $-\dfrac{2a}{3}$ で、$1$ とは異なる場合

2重解を $r$ とすると、$r\neq 1$ で

$$ f(x)=(x-r)^2(x-1) $$

と表せる。

これを展開すると

$$ f(x)=x^3-(2r+1)x^2+(r^2+2r)x-r^2. $$

$x$ の係数が $0$ だから

$$ r^2+2r=0 $$

すなわち

$$ r(r+2)=0. $$

$r=0$ は （ii） で扱ったので、ここでは

$$ r=-2 $$

である。

すると

$$ f(x)=(x+2)^2(x-1)=x^3+3x^2-4 $$

より

$$ (a,b)=(3,-4) $$

を得る。

以上より、求める組は

$$ \left(-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right),\quad (-1,0),\quad (3,-4) $$

である。

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**(3)**

$f(x)=x^3+ax^2+b$ とおく。

異なる3つの実数解をもつためには、極大値と極小値をもち、それらの値が異符号であることが必要十分である。

まず

$$ f'(x)=x(3x+2a) $$

より、極値をもつためには

$$ a\neq 0 $$

であり、そのとき停留点は

$$ x=0,\qquad x=-\frac{2a}{3} $$

である。

それぞれでの関数値は

$$ f(0)=b, $$

および

$$ f\left(-\frac{2a}{3}\right)=\left(-\frac{2a}{3}\right)^3+a\left(-\frac{2a}{3}\right)^2+b =,-\frac{8a^3}{27}+\frac{4a^3}{9}+b =\frac{4a^3}{27}+b $$

である。

したがって、これらが異符号であること、すなわち

$$ b\left(b+\frac{4a^3}{27}\right)<0 $$

が必要十分条件である。

実際、この不等式が成り立てば2つの停留点での値が異符号となるので、3次関数のグラフは $x$ 軸と3回交わる。しかも不等号が厳しいので重解は生じず、異なる3つの実数解をもつ。

よって条件は

$$ b\left(b+\frac{4a^3}{27}\right)<0 $$

である。

これを範囲として書けば、

$$ \text{（i） } a>0 \text{ のとき}\quad -\frac{4a^3}{27}<b<0, $$

$$ \text{（ii） } a<0 \text{ のとき}\quad 0<b<-\frac{4a^3}{27} $$

となる。

したがって、$(a,b)$ 平面では

• 直線 $b=0$
• 曲線 $b=-\dfrac{4a^3}{27}$

にはさまれた部分のうち、境界を除いた領域が求める範囲である。

解説

この問題の要点は、3次方程式を無理に因数分解しようとせず、まず解と係数の関係を見ることである。

（1） では「係数が実数なら非実数解は共役なものが対になる」という基本事項を使えば、残り1つの解もすぐに決まる。

（2） では「2重解をもつ」という条件を、導関数との共通解として処理するのが定石である。$f'(x)=x(3x+2a)$ と簡単に因数分解できるので、2重解の候補がかなり絞られる。

（3） では判別式を使わなくても、導関数による増減と極値の符号だけで十分である。3次関数が異なる3実根をもつ条件は、「極大値と極小値が $x$ 軸の上下に分かれること」と読み替えるのが本質である。

答え

$$ \text{（1） }\quad a=-\frac{1}{2},\qquad b=\frac{9}{2} $$

$$ \text{（2） }\quad (a,b)=\left(-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right),\ (-1,0),\ (3,-4) $$

$$ \text{（3） }\quad b\left(b+\frac{4a^3}{27}\right)<0 $$

すなわち

$$ \text{（i） } a>0 \text{ のとき } -\frac{4a^3}{27}<b<0, $$

$$ \text{（ii） } a<0 \text{ のとき } 0<b<-\frac{4a^3}{27}. $$

よって、$(a,b)$ 平面では $b=0$ と $b=-\dfrac{4a^3}{27}$ にはさまれた部分のうち、境界を除いた領域である。