解説

方針・初手

放物線と直線の共有点 $A,B$ の $x$ 座標を $a,b$ とおくと，

$$ a,b \text{ は } x^2-mx-1=0 \text{ の解} $$

である。したがって

$$ a+b=m,\qquad ab=-1 $$

が成り立つ。これを用いてまず $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の内積を調べると，（1） はすぐに示せる。

さらに （2） は （1） より $\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ を使って，円の直径が $AB$ であることから求める。

（3） は （2） で求めた円と放物線 $y=x^2$ を連立し，共有点の $x$ 座標を因数分解して調べればよい。

解法1

$A,B$ の $x$ 座標をそれぞれ $a,b$ とする。 $A,B$ は放物線 $y=x^2$ と直線 $y=mx+1$ の共有点であるから，

$$ a^2=ma+1,\qquad b^2=mb+1 $$

であり，$a,b$ は

$$ x^2-mx-1=0 $$

の解である。よって解と係数の関係から

$$ a+b=m,\qquad ab=-1 $$

を得る。

また

$$ A=(a,a^2),\qquad B=(b,b^2) $$

である。

**(1)**

$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ を示す。

$\overrightarrow{OA}=(a,a^2),\ \overrightarrow{OB}=(b,b^2)$ であるから，

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =ab+a^2b^2 =ab+(ab)^2 =-1+1 =0 $$

となる。したがって $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は垂直である。

ゆえに

$$ \angle AOB=\frac{\pi}{2} $$

が成り立つ。

（2） 3 点 $A,B,O$ を通る円の方程式を求める。

（1） より $\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ であるから，円周角の定理より，3 点 $A,B,O$ を通る円は $AB$ を直径とする円である。

したがってその方程式は

$$ (x-a)(x-b)+(y-a^2)(y-b^2)=0 $$

となる。これを展開すると

$$ x^2-(a+b)x+ab+y^2-(a^2+b^2)y+a^2b^2=0 $$

である。

ここで

$$ ab=-1,\qquad a^2b^2=(ab)^2=1 $$

より定数項は消える。また

$$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=m^2+2 $$

であるから，

$$ x^2+y^2-mx-(m^2+2)y=0 $$

を得る。これが求める円の方程式である。

（3） 放物線 $y=x^2$ と （2） の円が $A,B,O$ 以外の共有点をもたないような $m$ を求める。

円の方程式

$$ x^2+y^2-mx-(m^2+2)y=0 $$

に $y=x^2$ を代入すると，

$$ x^2+x^4-mx-(m^2+2)x^2=0 $$

すなわち

$$ x^4-(m^2+1)x^2-mx=0 $$

である。これを因数分解すると，

$$ x\left(x^3-(m^2+1)x-m\right)=0 $$

さらに

$$ x^3-(m^2+1)x-m=(x^2-mx-1)(x+m) $$

であるから，

$$ x(x^2-mx-1)(x+m)=0 $$

を得る。

ここで

• $x=0$ は点 $O$
• $x^2-mx-1=0$ の 2 解 $x=a,b$ は点 $A,B$

に対応する。したがって，$A,B,O$ 以外の共有点をもたないためには，残る解 $x=-m$ がすでに $0,a,b$ のいずれかと一致すればよい。

まず

$$ -m=0 $$

より

$$ m=0 $$

を得る。

次に $-m$ が $x^2-mx-1=0$ の解である条件は，

$$ (-m)^2-m(-m)-1=0 $$

すなわち

$$ 2m^2-1=0 $$

であるから，

$$ m=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} $$

を得る。

以上より求める $m$ は

$$ m=0,\ \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。

解説

この問題の要点は，交点の $x$ 座標を $a,b$ とおいて

$$ a+b=m,\qquad ab=-1 $$

を引き出すことである。

特に $ab=-1$ が効いており，これによって $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ となるので，（1） が簡潔に示せる。さらに $\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ が分かれば，円 $A,B,O$ は直径 $AB$ の円であると直ちに分かるので，（2） も計算が整理される。

（3） では，円と放物線の共有点の $x$ 座標が

$$ x(x^2-mx-1)(x+m)=0 $$

と因数分解できることが決定的である。$x=0,a,b$ が既知の 3 点 $O,A,B$ に対応し，$x=-m$ が新しい共有点になるかどうかだけを見ればよい。

答え

**(1)**

$$ \angle AOB=\frac{\pi}{2} $$

**(2)**

3 点 $A,B,O$ を通る円の方程式は

$$ x^2+y^2-mx-(m^2+2)y=0 $$

である。

**(3)**

放物線 $y=x^2$ と （2） の円が $A,B,O$ 以外の共有点をもたないような $m$ の値は

$$ m=0,\ \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。